푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)

푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)

 

독립된 기저함수가 무수히 많다면 주기함수를 근사할 수 있지 않을까?

 

 

들어가며...

연속함수는 종종 정현파 신호의 선형 조합으로 근사된다. 예를 들어, 제어공학에서 신호와 음파, 초음파와 같은 연속 신호를 정현파 신호의 선형 조합으로 나타낼 수 있는 것은 공학적 문제 해석에 강력한 해결책을 제시한다. 연속함수를 정현파 신호로 분리하는 과정을 푸리에 정리라고 하며, 푸리에 정리로 인해 시간 영역에서의 문제를 주파수 영역으로 확장할 수 있다. 이것은 문제 해결을 매우 간단하게 만들며, 주파수 영역에서의 해석이라는 아이디어는 라플라스 변환으로 발전하여 미분방정식을 완성한다.

 

이번 포스팅에서는 라플라스 변환의 기초적인 아이디어가 되는 푸리에 급수와 푸리에 정리를 다루도록 하겠다.

 

 

주기함수의 내적

2025.03.26 - [Mathematics/Linear Algebra] - 내적 공간(Inner Product Spaces)

내적 공간(Inner Product Spaces)

푸리에 급수가 정의되는 내적 공간을 먼저 정의해야 한다. 벡터 공간은 내적 함수 <>가 정의될 때 내적 공간의 성질을 띄며, 푸리에 급수가 정의되는 내적 공간에서 내적 함수는 아래와 같다.

 

이때, 주파수가 서로 다른 정현파는 서로 직교하므로, 주파수가 서로 다른 정현파의 내적은 항상 0이다. 아래 식을 통해 증명할 수 있다.

 

주파수가 서로 다른 sine 함수와 cosine 함수의 경우, 각각의 내적은 m과 n이 다르다는 가정 하(주파수가 서로 다르다는 가정 하)에 0이다. 

 

주파수가 서로 다른 정현파 함수의 경우 항상 내적은 0이다. 결론적으로 주파수가 다른 sine 함수와 cosine 함수는 항상 모두 직교한다는 사실을 알 수 있다. 또한 sine 함수와 cosine 함수는 서로 항상 직교한다는 사실을 알 수 있다. 내적은 선형성을 만족시키기 때문에 최종적으로 아래 식을 성립한다.

 

따라서 정현파 신호들은 직교 기저함수로 작용할 수 있다.

 

푸리에 정리(Fourier Theorem)

푸리에 정리는 함수의 존재 공간을 직교 기저함수들로 표현한 것이다. 무수히 많은 직교 기저함수들의 각각의 가중치(전체 함수에 기여하는 정도)를 알 수 있다면, 주기함수를 근사할 수 있을 것이다. 푸리에 정리에서 다른 주파수를 가진 정현파가 서로 항상 직교한다는 사실을 이용해 아래와 같이 주기가 P인 함수 f(t)를 푸리에 급수 형태로 표현한다. 여기서 정현파(sine, cosine)함수는 항상 주기함수의 기저함수이며, 주파수가 같은 sine, cosine 함수는 서로 배음관계(harmonics)이다.

 

위 식은 푸리에 급수이며, w0는 fundamental frequency로, 초당 회전 라디안을 의미한다. 한 바퀴를 의미하는 라디안값인 2파이를 주기로 나눈 값이다. 위 식에서 a0/2는 DC offset이라 하며, 주기함수 f(t)의 평균에 해당하는 값이다. 

 

 

Dirichlet Conditions

모든 함수가 푸리에 급수로 전개될 때, 그 급수가 함수에 수렴하는가? 만약 수렴하지 않는다면, 특정 함수의 푸리에 급수가 그 함수에 수렴하는 충분 조건은 무엇인가? 이에 대한 해답은 19세기 수학자 디리클레에 의해 정리되었다.

 

1. Piecewise Integrabilityf(t)는 한 주기에서 절대값이 적분 가능해야 한다. 이것을 수학적으로 표현하면 아래와 같다.

 

위 식을 만족한다는 것은 곧 함수에 무한 발산 지점이 없다는 의미이다.

 

2. Finite Number of Discontinuities

각 불연속점에 좌극한, 우극한이 존재해야 한다. 또한, 불연속점은 유한개여야 한다. 이 정리를 만족하는 대표적인 예는 계단 함수이다. 만약 주기함수가 불연속점을 가지면 푸리에 급수로 근사된 함수는 불연속점에서 어디로 수렴할까? 

불연속점에서 푸리에 급수가 위와 같은 곳으로 수렴하는 것은 Dirichlet Theorem에 의해 정리되었다. 따라서 Unit step 함수와 비교할 때, heaviside step함수가 더 잘 정의되었다고 한다.

 

3. Finite Number of Maxima and Minima

불연속점과 더불어 극점도 유한개 있어야 한다. 

 

푸리에 급수의 수렴

2024.08.25 - [Control Engineering/Linear System and Signal] - 깁스 현상[Gibb's phenomenon]

깁스 현상[Gibb's phenomenon]

 

결론적으로, 주기함수가 연속이라면, 푸리에 급수는 원함수로 완전히 수렴한다. 그러나, 만약 주기함수가 불연속점을 가질 경우, 전체적으로는 수렴할 수 있으나, 해당 불연속점은 Dirichlet Theorem에 의해 좌극한과 우극한의 평균값으로 수렴하며, 해당 지점에서 Gibbs 현상에 의해 오버슛이 발생한다. 따라서 이러한 상황엔 푸리에 급수가 원함수의 근사일 뿐이라는 사실을 유추할 수 있다. 

 

푸리에 계수(Fourier Series Coefficients; FSC)

기저함수의 직교성을 이용하여 각각의 주파수에 해당하는 푸리에 계수를 구할 수 있다. 내적 공간을 아래와 같은 내적 함수에 대해 정의할 때, 푸리에 계수는 아래와 같이 구해진다.

 

먼저 푸리에 급수의 양변에 구하고자 하는 푸리에 계수에 해당하는 정현파를 내적한다.

 

해당 푸리에 계수를 제외한 항들은 모두 정현파의 직교성으로 인해 내적이 0이 된다. 또한 해당 푸리에 계수에 해당하는 정현파는 자기 자신의 내적값으로 내적이 산출되므로 아래와 같이 P/2값으로 산출된다.

 

위 값을 등식에 대입하면 아래와 같은 등식을 구할 수 있다.

 

위와 같이 푸리에 계수는 기저함수의 직교성을 이용하여 산출할 수 있으며, 푸리에 계수가 지니는 의미는 '특정 주파수가 전체 함수에 기여하는 정도'로 해석할 수 있다.

 

주요 연산

특정 함수를 정현파의 선형조합으로의 근사는 신호 처리에서 활용도가 높다. 신호의 주요 연산은 미분과 적분인데, 아래 결과에서 확인할 수 있듯이 미분과 적분은 특정 주파수의 배음(harmonic)의 푸리에 계수에 변화를 준다. 이를 제외한 나머지는 모두 같은 조건이 유지된다. 중요한 점은 푸리에 계수가 주파수에 대한 식으로 표현 가능하다는 것이다. 이를 통해 x축은 주파수, y축은 푸리에 계수로 이루어진 그래프(Line Spectra)를 그릴 수 있다. 이 그래프는 신호(함수)의 모든 정보를 담고 있는 그래프로 취급된다. 

2024.08.23 - [Control Engineering/Linear System and Signal] - 푸리에 급수, Line Spectra(Feurier Series; Line Spectra)

푸리에 급수, Line Spectra(Feurier Series; Line Spectra)

 

 

1. 미분

 

2. 적분

 

 

마치며...

이번 포스팅에서는 직교 기저 벡터와 내적 공간의 개념을 이용하여 디리클레 조건을 만족하는 모든 주기함수가 정현파의 선형조합으로 표현될 수 있음을 정리하였다. 푸리에 급수가 '주기함수'에만 적용 가능하다는 점을 꼭 기억하도록 하자.

 

그렇다면 질문이 생길 것이다. '비주기 함수인 경우에 푸리에 급수를 적용하는 방법이 없을까?' '디리클레 조건을 만족하지 않는 발산하는 함수인 경우에 푸리에 급수를 적용하는 방법이 없을까?' 푸리에 급수를 공부할 때 이 두가지 질문은 매우 좋은 질문이다. 미리 언급하자면, 비주기 함수는 푸리에 변환을 통해 근사하며, 비주기 발산 함수의 경우에 라플라스 변환을 통해 주파수 영역과 복소수 영역에서 해석할 수 있다. 

 

많은 의문이 생기고, 이 포스팅에서 이해가 가지 않는 부분도 있으리라 생각한다. 포스팅이 이해가 가지 않는다면 아래 2개의 포스팅을 먼저 공부하면 도움이 될 것이다.

2025.03.26 - [Mathematics/Linear Algebra] - 내적 공간(Inner Product Spaces)

내적 공간(Inner Product Spaces)

2025.03.25 - [Mathematics/Linear Algebra] - 벡터의 내적, 쌍대성(Dot Product; Duality)

벡터의 내적, 쌍대성(Dot Product; Duality)

 

라플라스 변환과 푸리에 변환은 선형 시스템과 신호 카테고리를 참고하면 정리가 되어 있을 것이다. 사실 개인적인 용도로 정리해 놓은 블로그이기 때문에 선형 시스템과 신호 카테고리는 수학 카테고리와는 달리 직관적인 부분에서 이해하기 어려울 수 있다. 하지만, 본질에 관한 사고의 흐름을 최대한 보여주려는 동일한 의도로 작성하였으니, 논리를 잘 따라가면 생각하는데 많은 도움이 될 것이다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.