깁스 현상(Gibb's phenomenon)

깁스 현상(Gibb's phenomenon)

 

Intro

문제는 다음 그래프를 근사하고자 할 때 발생한다.

 

 

이전에 다루었던 푸리에 급수로 위 그래프를 근사할 수 있다.

 

과정

먼저 위 그래프의 FSC를 구한다. 구하는 과정은 다음과 같다.

 

Simulation

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%Handong Global University
%------------------------------------------------
%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.08.25
%Modifire:  2024.08.25
%------------------------------------------------
%Simulation of Gibb's Phenomenon
%================================================

close all; clear all; clc;
t = -6:0.01:7;
m_values = [1, 5, 10, 50];
frequency = 1/4;
duty_cycle = 50;
% 듀티사이클은 전체 주기의 50%동안 1값을 유지

x = square(t*frequency*2*pi, duty_cycle);
% 사각 신호함수 그리는 함수
x(x == -1) = 0;

for idx = 1:length(m_values)
    N = m_values(idx);
    m_range = -N:N;
    x_sum = zeros(size(t));

    for m = m_range
        if m == 0
            x_term = 1/2 * ones(size(t));
        else
            x_term = sin(m*pi/2) / (m*pi) * exp(1i * m * pi/2 * t);
        end
        x_sum = x_sum + x_term;
    end

    figure('Position',[100, 100, 800, 300]);
    plot(t, real(x_sum), t-1, x);
    xlabel('Time [sec]');
    ylabel(['x(t) : N=' num2str(N)]);
    axis([-6, 6, -0.2, 1.2]);
    grid on;
end

위 코드를 Matlab으로 구현하면 다음과 같은 결과가 나온다.

 

m = 0일 때, 신호의 평균이 될 수 있으며, m = 0일 때의 FSC값을 DC component라고 정의한다. 위 결과를 통해 고주파 신호는 전체 신호에 기여하는 정도가 적음을 알 수 있다.

Gibb's phenomenon

위 결과에서 사각형 꼭짓점에서 튀어나온 부분이 보이는가? 이렇게 꼭짓점 부근에서 진동이 발생하는 현상을 깁스현상(Gibb's phenomenon)이라고 한다. 깁스 현상이 발생하는 원인은 불연속 점이다. 불연속 지점을 근사하고자 할 때, 그 지점에서 진동이 발생하는 것이다. 

 

Dirichlet's Condition

각 꼭짓점에서 발생하는 오차값을 riddle이라 하며, Dirichlet's Condition에 따르면 오차는 9%미만이다.