계수 내림법, 론스키안, 아벨 항등식(Reduction of Order; Wronskian; Abel's identity)

계수 내림법, 론스키안, 아벨 항등식(Reduction of Order; Wronskian; Abel's identity)

 

 

특성방정식이 중근을 갖는 경우, 두 개의 기저함수를 어떻게 정의해야 하는가?
- 계수 내림법

 

들어가며...

2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

 

이번 포스팅에서는 위 포스팅에서 다루었던 2차 미분방정식의 제차해를 해결하는 과정에서 발생한 질문을 해결하도록 하겠다. 질문은 다음과 같았다.

특성방정식이 중근을 갖는 경우, 두 개의 기저함수를 어떻게 정의해야 할까?

 

독립 기저함수

본격적인 내용에 들어가기 앞서, 독립 기저함수의 개념을 살펴보고 갈 필요가 있다. 2차 미분방정식을 예로 들어보자. 만약 시스템의 차수가 2차라면, 이 시스템의 제차해는 서로 독립인 두 기저함수로 정의되는 함수 공간 상에 해가 놓여 있을 것이다. 즉, 서로 독립인 기저함수의 중첩이 시스템의 해이다.

 

위 조건에 의해 y는 서로 독립 기저함수이다. 특성방정식이 서로 다른 두 근을 가질 때, 지수에 각각의 근을 넣어주면 기저함수가 손쉽게 산출되었다. 그러나 특성방정식이 중근을 가진 경우에 문제가 발생하였다. 지수에 같은 값을 넣고도 서로 독립하는 기저함수를 어떻게 산출할 수 있을까?

 

계수 내림법(reduction of order)

계수 내림법이 그 해결책이다. 

 

계수 내림법의 주요 아이디어는 v(t)를 먼저 계산한 후, 중첩원리를 이용해 최종 해를 산출하는 것이다. 우선 y는 아래 2차 미분방정식을 만족한다.

 

각각 맨 위 등식에 대입하면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

 

이때, y1과 y2는 서로 독립이므로, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

 

계수 내림법의 일반화

위에서는 상수계수 선형 미분방정식을 예로 들어 기저 함수를 추출하였다. 좀 더 일반화된 경우 즉, 시스템의 계수가 시간에 따라 변하는 종속변수인 경우에 2차 시스템의 기저함수는 어떻게 구할 수 있을까?

 

똑같이 위 식을 각각 대입해보자. 그 결과, v에 대해서 묶이는 부분은 제차방정식의 해가 y1임을 이용하여 0으로 소거되며, 아래와 같은 결과가 나온다.

 

위 식은 v'에 대한 1차 미분방정식이므로, 적분인자법을 적용할 수 있다. 결과적으로 v'은 아래와 같다.

 

 

Wronskian

계수 내림법을 이용하여 시스템의 기저함수를 구했다. 그렇다면 이 기저함수의 독립성을 어떻게 판별할까? 기저함수들의 독립성을 판별하기 위한 도구가 Wronskian이다. 만약 Wronskian이 0이 아니라면 함수들이 서로 독립임을 확인할 수 있다. 이를 정리하면 아래와 같다.

Wronskian

위 식에서 f1 ... fn은 서로 독립이다.

 

아벨 항등식(Abel's identity)

론스키안의 형태를 구하는데 모든 기저함수를 반드시 알아야 할까? 흥미롭게도 답은 아니다. 아벨 항등식에 의해서 방정식의 계수만 안다면, 론스키안의 함수적 형태를 알 수 있다. 이는 아래와 같다.

 

아벨 항등식의 이점은 n차 미분방정식의 기저함수 n-1개를 알고 있는 경우, 나머지 기저함수를 찾아낼 수 있다는 점이다.

 

먼저 론스키안을 통해 방정식을 세우자.

 

이제 이 1차 미분방정식을 구하면 y1을 구할 수 있다.

 

마치며...

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.