푸리에 급수, Line Spectra(Feurier Series; Line Spectra)

푸리에 급수, Line Spectra(Feurier Series; Line Spectra)

푸리에 급수는 아래와 같은 단순한 질문에서 출발한다.

주기 신호의 결합은 주기 신호인가?

 

 

Q. 주기 신호의 결합으로 만들어진 신호의 주기와 Fundamental Frequency는 어떻게 결정될까?

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%Handong Global University
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%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.08.21
%Modifire:  2024.08.21
%------------------------------------------------
%Simulation of Sinusoidal signal
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clc;clear all;close all;

Time = struct("Start", 0.0, ...
              "Ts",1e-3, ...
              "Stop", 30.0);
Time.time = Time.Start:Time.Ts:Time.Stop;
time = Time.time;

w1 = 0.6; w2 = 2.7;

y1 = 3*sin(w1 * time)-4*cos(w1*time);
y2 = 2.4*cos(2.7*time);


figure, grid on; hold on; %axis equal;
plot(time, y1, "b-");
plot(time, y2, "r-");
plot(time, y1-y2, "g-");
title("Simulation of Sinusoidal signal");
xlabel("time[sec]"); ylabel("signal[-]");set(gca, 'fontsize',12)

 

삼각함수만 상상해봐도 신호의 주기는 각 주기신호의 주기의 최소공배수와 같고, Fundamental Frequency는 각 주기 신호의 Fundamental Frequency의 최대 공약수와 같음을 알 수 있다.

* Fundamental Frequency

 

Fundamental Frequency는 초당 회전 radian값을 의미한다. T는 주기로, 한바퀴 회전하는 동안 걸리는 시간(초)이다.

Fundamental Frequency는 위상의 미분이다.

 

주기 신호의 가장 보편적인 예시인 sinusoidal 함수를 예로 들어보자. 만약 우리가 sinusoidal 함수로 주기 함수를 근사하고 싶다고 할 때 다음과 같은 질문을 할 것이다.

Q. Sinusoidal 함수의 선형 결합이 모두 주기 CT 신호가 되는가?

만약 각 삼각함수의 주기의 최소공배수(L.C.M)이 존재하지 않거나 주기가 서로 정수배가 아닌 경우(무리수와 유리수 관계) 각 삼각함수의 선형 결합은 주기 신호가 아니다. 이것은 결합된 신호가 주기 신호라는 조건이 결합 결과가 주기 신호라는 조건의 충분조건이 되지 못한다는 사실을 의미한다. 

 

Q. 모든 Periodic CT signals는 sinusoidal signal의 선형결합으로 나타낼 수 있는가?

모든 주기신호의 선형결합이 반드시 주기 신호가 되는 것은 아님을 이야기했다. 그렇다면 반대로 생각해볼 때, 모든 주기 신호는 다른 주기 신호의 선형결합으로 나타낼 수 있는가? 

 

푸리에 급수

방금 질문에 근본적인 답변을 내놓은 사람이 푸리에다. 그는 푸리에 급수를 통해 모든 주기함수는 푸리에 급수로서 무한한 삼각함수의 선형결합으로 표현될 수 있음을 보였다.

 

푸리에 급수를 통해 우리는 모든 주기 신호를 sinusoidal signal형태로 근사 가능하고, 이를 오일러 공식(Euler Formula)를 이용하여 Exponential form으로 표현할 수 있다. 후에 다시 언급하겠지만, 모든 주기함수에서 Exponential function이 기저 함수 역할을 한다는 발상을 한 사람도 푸리에이다.

 

Example

예전 포스팅 올렸던 필기노트이다. 

 

위 계산의 결과로서 얻을 수 있는 정보는 다음과 같다.

1. FS coefficients는 각각의 conjugate symmetric이 급수 내에 존재하며 

2. 주파수 영역에서 FS coefficients의 magnitude 그래프는 even function형태를 띈다.

3. 주파수 영역에서 FS coefficients의 phase 그래프는 odd function형태를 띈다.

4. 각각의 FS coefficients의 conjugate symmetric쌍을 m으로 번호를 매기며, 이를 harmonics라고 한다..

 

Line Spectra

위 예제에서 Complex Exponent를 다음과 같이 표시한다. 

Complex Exponent

 

Complex Exponent는 주기 함수이며, w0의 배수 주파수를 가진다. 정수 m을 따라 Complex Exponent는 harmonics를 구성한다. 

 

모든 주기 신호의 기저함수는 Complex Exponent이므로, 기저함수의 선형결합 형태로 나타낼 수 있다. 그러므로, x축을 m에 대하여, y축이 FS coefficient를 나타내는 그래프는 실수부와 허수부에 대하여 신호의 모든 정보를 담을 수 있다. 이 그래프를 Line Spectra 라고 한다. 참고로 Line spectra는 FSC의 크기에 대해, 위상에 대해 이렇게 2개 그릴 수 있다.

 

Line Spectra는 m에 따른 푸리에 급수 계수를 보여준다. 이는 각각의 주파수에 대해서 그에 해당하는 독립된 신호가 전체 신호에 끼치는 영향력을 시각적으로 보여준다는 점에서 의미가 있다.

 

Orthogonality

Line spectra를 설명하면서 독립된 신호를 강조하였다. 왜 m에 따른 각각의 신호는 독립적일까? 그것은 주파수의 차이 때문이다. 주파수의 차이로 인해 서로 영향을 주지 못하는 독립된 신호. 따라서 Complex Exponent는 Orthogonal basis이다.

 

System Analysis

자 그럼 정보를 정리해보자. 요약하자면 다음과 같다.

Orthogonal basis function

 

모든 신호는 다음과 같이 표현 가능하고, 여기서 Complex Exponent는 Orthogonal basis이다.

 

Q. 이를 System 분석에 어떻게 적용할까?

2024.08.21 - [Engineering/Linear System and Signal] - Impulse Delta Response(합성곱 원리)

Impulse Delta Response(합성곱 원리)

 

위 포스팅에 따르면 시스템의 고유한 성질을 뽑아내기 위해 Impulse Delta Response를 구했다. Impulse Delta Response와 입력 신호의 합성곱을 통해 출력 신호를 구할 수 있었다. 그런데 생각해보자. 우리는 입력 신호를 FS coefficient와 orthogonal basis에 대한 식으로 나타낼 수 있다. 또한 이 입력 신호의 출력 신호를 분석하면, 각각의 주파수 영역에서 신호가 주는 영향력은 변화가 없을 것이기에, FS coefficient의 harmonics는 그대로 유지될 것이다. 이를 통해 시스템 해석 문제는 orthogonal basis의 출력값을 구하는 문제로 단순화된다. 

 

Zm을 구하기 위해 Orthogonal basis에 Impulse Delta Response를 합성곱하면 된다. 식은 다음과 같다.

결론적으로 시스템 분석은 다음과 같이 요약할 수 있다.

1. LTI system에서는 입력 주파수 이외의 새로운 주파수 성분이 출력되지 않는다

2. Complex Exponent = Orthogonal basis function = eigen function

3. LTI system은 오로지 Gain만 변화시킨다.

 

Eigenfunction property(Frequency domain)

eigenfuncion property

 

위 정리를 통해 Cm과 dm을 관찰함으로써 시스템의 모든 특성을 파악할 수 있다.

 

Fourier Series EQ

synthesis EQ

 

이미 우리는 Time Domain에 표현된 함수를 확장하여 Frequency Domain에 대해서 표현할 수 있도록 다음과 같은 등식을 도출해냈다. 위 등식을 synthesis EQ라 정의한다. 만약 위 식을 Cm에 대해 나타낼 수 있다면 FD(Frequency Domain)에서 각각의 주파수가 가리키는 FS coefficient값을 구하기 훨씬 수월해질 것이다. FSC를 주파수에 대해 표현하기 위해 아까전에 언급하였던 eigen function의 orthogonality가 이용된다. 다음 식은 그 과정을 설명한다.

 

결론으로 얻은 등식은 다음과 같다.

analysis EQ

위 등식을 analysis EQ라 이름한다.