벡터의 내적, 쌍대성(Dot Product; Duality)

벡터의 내적, 쌍대성(Dot Product; Duality)

 

자연스럽지만 의외인 대응관계
- 쌍대성

 

들어가며...

내적 공간을 공부하기에 앞서, 내적의 기하학적 의미와 행렬 연산에서의 의미의 연결점을 이해할 필요가 있다. 이번 포스팅은 내적이 담고 있는 깊은 의미를 파헤쳐보도록 하겠다.

 

내적의 연산

전체공간이 n차원의 부분공간 벡터공간 V에서 두 벡터 v, w가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

위 두 벡터의 내적은 다음과 같이 계산한다.

 

기하학적으로 내적은 아래와 같은 의미를 지니고 있다.

 

내적은 한 벡터의 정사영 길이와 그 벡터의 길이를 곱한 값이다. 두 개의 벡터가 내적 계산을 거쳐 나온 결과는 하나의 수이며, 이것 수는 두 벡터의 닮은 정도를 의미한다. 예를 들어, 두 벡터가 직교하면, 내적은 0이며, 이것은 두 벡터가 완전히 독립되었다는 의미를 지닌다. 

 

 

내적의 의미

그렇다면 어떻게 내적의 행렬 연산과 기하학적 연산이 같은 의미를 지닐 수 있을까? 이 둘이 같은 근본적인 이유는 무엇일까? 이 질문을 해결하기 전에 우선 내적의 특징을 알아야 한다. 내적은 3가지 특징이 있다.

 

1. 자기 자신의 내적(2-norm)은 길이의 제곱이다.

이것은 곧 자기 자신의 내적(2-norm)은 항상 0보다 크거나 같아야 함을 의미한다.

 

2. 대칭성

두 벡터의 순서를 바꿔 내적을 계산하면 결과가 같다. 벡터의 내적이 대칭성을 만족하는 이유는 내적의 행렬 연산과 기하학적 연산이 같은 의미를 지니는 이유를 이해하면 바로 이해가 갈 것이다.

 

3. 선형성

 

내적은 선형성을 만족하는 선형 변환이다. 또한, 내적은 두 벡터의 관계에 대한 정보를 담고 있는 하나의 수로 결과를 내놓기 때문에, 두 벡터의 좌표계를 회전하거나 크기 변환을 해도, 두 벡터의 크기와 두 벡터의 사잇각이 변하지 않는 한, 내적의 결과는 동일할 것이다. 아래 두 벡터의 내적을 구해보자. 좌표계 변환을 통해 쉽게 구할 수 있겠는가?

위 예시에서 두 벡터의 내적을 기하학적으로 구한다고 가정했을 때, 이것은 꽤나 까다로운 작업이 될 수 있다. 따라서 좌표변환을 통해 아래와 같은 모양으로 나타낸다고 가정해보자.

좌측은 x좌표계를 w와 일치시켜 좌표계를 회전하였으며, 우측은 y좌표계를 v와 일치시켜 좌표계를 회전한 결과다. 두 벡터에 좌표변환 행렬을 곱했기 때문에, 두 벡터의 좌표도 바뀐다. 각각의 경우의 벡터의 내적을 기하학적 방법을 통해 수식으로 표현한다면 아래와 같을 것이다.

 

위 식을 통해 알 수 있는 점은 두 벡터의 내적은 기준이 되는 벡터의 가중치에 다른 벡터의 좌표를 각각 넣은 형태라는 점이다. 가중치는 벡터 앞에 곱해지는 행렬을 의미하기도 하므로, 벡터의 계산에서 두 벡터중 정사영되는 벡터에 Transpose를 취해 행렬로 바꾼 뒤, 기준벡터와 행렬곱을 하기도 한다. 결론적으로 벡터의 내적은 아래와 같은 등식을 만족한다.

 

 

마치며...

벡터의 내적을 선형대수학의 행렬과 가중치의 관점에서 해부해보면 지극히 자연스러운 등식이지만, 의외인 점은 사실이다. 두 벡터의 길이와 그 사잇값의 코사인의 곱이 각 좌표를 서로 곱한 값의 총합이라는 사실은 바로 피부로 와닿지 않기 때문이다.

 

다음 포스팅에서는 푸리에 급수와 정보 처리에 강력한 도구가 되는 내적 공간을 정리하도록 할 것이다. 내적 공간은 내적 연산자에서 특정 가중치를 부여하기 위한 개념으로 좀 더 확장되고, 실질적인 개면으로 받아들이면 좋을 것이다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.