푸리에 급수, 시스템 해석(Fourier Series; System analysis)

푸리에 급수, 시스템 해석(Fourier Series; System analysis)

 

하나의 입출력 쌍이 어떻게 시스템의 모든 정보를 담을 수 있을까?

들어가며...

2025.03.26 - [Mathematics/Differential Equation] - 푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)

푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)

이번 포스팅에서는 이전에 다루었던 푸리에 정리의 적용을 미분방정식의 해법을 중심으로 알아볼 것이다.

 

푸리에 급수 응용

 

위 시스템에서 x는 입력이고, f는 출력이다. f가 주기함수라면, 푸리에 급수를 이용하여 위 시스템의 해를 구할 수 있다. 이때, 기저함수의 직교성과 미분방정식의 선형성으로 인해 개별 주기함수 입력에 대한 응답또한 독립적이며, 이를 통해 입출력의 주파수는 항상 동일하며 변하는 것은 FSC 뿐이라는 사실을 알 수 있다. 예를 들어, mbk 시스템의 해를 구한다고 가정해보자.

 

위 식에서 정현파는 자연지수함수의 Real Part로 표현 가능하다. 그러므로, 출력의 일부를 아래와 같다고 가정한 뒤, 해의 Real Part 부분만 추출하고, 다시 선형조합하면 x를 구할 수 있을 것이다.

 

또한 특성방정식은 아래와 같다.

 

특성방정식을 위와 같이 표현한다면, 특성해 z는 아래와 같이 표현 가능할 것이다.

 

위에서 빨간 부분이 시스템의 Gain의 역수이다. z가 입력임을 고려할 때, 빨간 부분을 제외한 부분은 출력이므로, 입력 대비 출력의 비율인 시스템의 Gain은 빨간 부분의 분모에 해당하는 값이라 알 수 있다. 아래 포스팅의 끝부분에서 잠깐 언급하기도 했지만, 시스템의 Gain은 주파수에 관한 함수로 나타낼 수 있고, y축을 크기와 각도로 각각 나누어서 볼 수 있다고 하였다. 그 그래프를 보드 선도(Bode plot)이라고 한다. 

2025.03.21 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula)

선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula)

빨간 부분을 크기와 각도로 나누어서 분석하면 아래와 같은 형태를 가진다.

 

여기서 주파수는 w0의 정수배로 존재한다. 그러므로 2가지 경우로 나눌 수 있을 것이다. 첫번째는 주파수가 0인 경우이며, 두번째는 주파수가 0이 아닌 경우이다.

 

1. wn = 0

2. wn = l×w0

 

위 식에서는 출력이 자연 지수함수 하나일 때를 가정하여 위와 같이 해를 구하였다. 그러나, 실제 출력은 FSC가 포함된 지수함수의 무한 선형조합과 같으므로, 각각의 해에 그 주파수에 해당하는 FSC를 가중치를 부여하여 선형조합을 하여야 x를 구할 수 있다. 우선, FSC를 가중치로 부여하여 각각의 자연지수함수를 선형조합한 형태는 아래와 같다.

이 식을 위 시스템에 입력하면, 출력은 아래와 같다.

 

만약 입력의 Real Part를 추출한다면, 시스템의 특성해를 구할 수 있다. 따라서 아래와 같이 표현 가능하다.

 

위 결과를 보면 알 수 있듯이, 선형 시스템을 거친 신호의 고유 주파수는 변하지 않으며, 위상 변화, 크기, DC offset만 변화한다. 결론적으로 선형 시스템은 입력과 출력이 각각의 주파수에 따라 쌍을 이루며, 하나의 쌍의 성질만 알아도 나머지 모든 쌍을 알 수 있으며, 출력을 완전히 해석할 수 있다. 즉, 하나의 입출력 쌍은 사실상 시스템의 모든 정보를 담고 있는 셈이다.

 

마치며...

읽어주셔서 감사합니다.