OnlyOne

라플라스 변환, ROC, 부분 분수분해(Laplace Transform; Region of Convergence; Partial Fraction Expansion) 라플라스 변환을 시스템 해석에 사용하는 이유는 무엇인가? 들어가며...라플라스 변환은 개념 자체가 담고 있는 의미가 많고 내용도 많기 때문에(필자에게는 그렇게 느껴진다.) 이번 포스팅에서는 최대한 기본 개념과 계산적인 측면에서 정리할 것이다. 라플라스 변환의 공식 증명, 라플라스 역변환 직접 적분과 같은 내용은 살짝 언급만 하고 굳이 여기서 다루지는 않을 것이다.  라플라스 변환라플라스 변환이 나오게 된 배경은 선형 시스템과 신호 과목에서 깊이있게 다루고 있는 부분이다. 간단히 짚고 넘어가자면, 원래 주기함수에만 적용 가능했던 푸리에 급수를 ..

푸리에 급수, 시스템 해석(Fourier Series; System analysis) 하나의 입출력 쌍이 어떻게 시스템의 모든 정보를 담을 수 있을까?들어가며...2025.03.26 - [Mathematics/Differential Equation] - 푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 독립된 기저함수가 무수히 많다면 주기..

푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 독립된 기저함수가 무수히 많다면 주기함수를 근사할 수 있지 않을까?  들어가며...연속함수는 종종 정현파 신호의 선형 조합으로 근사된다. 예를 들어, 제어공학에서 신호와 음파, 초음파와 같은 연속 신호를 정현파 신호의 선형 조합으로 나타낼 수 있는 것은 공학적 문제 해석에 강력한 해결책을 제시한다. 연속함수를 정현파 신호로 분리하는 과정을 푸리에 정리라고 하며, 푸리에 정리로 인해 시간 영역에서의 문제를 주파수 영역으로 확장할 수 있다. 이것은 문제 해결을 매우 간단하게 만들며, 주파수 영역에서의 해석이라는 아이디어는 라플라스 변환으로 발전하여 미분방정식을 완성한다..

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 들어가며...이번 포스팅에서는 오일러-코시 방정식의 제차해를 구할 것이다. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)오일러-코시 미분방정식의 형태는 아래와 같다. 오일러-코시 방정식은 계수가 독립변수 x로 정의되는 시변 미분방정식으로, 기저함수가 x^m이다. 따라서 오일러-코시 방정식을 풀기 위해 y에 기저함수를 대입한다. 이때, 특성방정식의 해의 형태에 따라 3가지로 분류 가능하다. 1. 서로 다른 실근 2. 중근 특성방정식이 중근을 가질 때는 계수 내림법을 이용하여 기저함수를 구한다. 계수 내림법은 아래 포스팅을 참조하자.2025.03.21 - [Mathematics/Differential Equation] - 계수 내림법..

멱급수법(Power Series Method) 들어가며...멱급수법은 고차 미분방정식에도 적용 가능하나 복잡한 연산 과정이 필요하다는 단점이 있다. 멱급수법(Power Series Method)멱급수법은 기저함수를 멱급수 형태로 가정한 후, 미분방정식을 만족하는 계수들을 찾는 방법이다. 닫힌 해를 찾는 것이 어려운 미분방정식에서 주로 이용된다. 차수를 적절히 제한한다면, 쓸모 있는 근사 해를 얻을 수 있기 때문이다. 기저함수의 형태는 아래와 같다. Example 이때, a0와 a1은 초기치로부터 얻어진다. 마치며...짧은 글 읽어주셔서 감사합니다.

계수 내림법, 론스키안, 아벨 항등식(Reduction of Order; Wronskian; Abel's identity)  특성방정식이 중근을 갖는 경우, 두 개의 기저함수를 어떻게 정의해야 하는가?- 계수 내림법 들어가며...2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation) 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어t..

선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula) 들어가며...이번 포스팅에서는 선형 시스템 연산자를 이용하여 선형 미분방정식의 특성해를 찾는 공식을 증명할 것이다. 선형 시스템 연산자연산자는 함수를 입력으로 받아 수정된 함수를 출력으로 변환하는 시스템으로, 미분 연산자(D)와 항등 연산자(I) 등이 있다. 선형 시스템 연산자는 상수계수 선형 미분방정식의 특성다항식(Characteristic polynomial)로 정의된다.  선형 시스템 연산자는 아래와 같은 기본 법칙을 만족한다. 특히 아래 2개의 법칙은 기억해두도록 하자. 선형 시스템 연산자에 임의의 2차 다항식을 대입하여 등식이 성립함을 보이면 위 법칙들을 쉽게 증명할 수 ..

상태천이행렬, 적분인자법, 미정계수법(State Transition Matrix; Integrating Factor Method; Method of Undetermined Coefficients)2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation) 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어taesan5435.tistory.c..

선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어 특성방정식의 개념이 파생된 과정과, 그 개념을 바탕으로 선형 상수계수 2차 미분방정식의 제차해를 구하는 방법을 정리할 것이다. 별도의 포스팅에서 적분인자법 또는 미정계수법을 통해 선형 상수계수 2차 미분방정식의 특수해를 구하는 과정을 정리할 것이다.  상수계수 2차 선형 미분방정식상수계수 2차 선형 미분방정식은 다양한 물리 시스템의 거동 특성을 모델링 및 해석하는데 널리 사용된다. 아래는 상수계수 2차 선형 미분방정식의 형태이다. 여기서 좌변은 물리적 시스템의 특성을, 우변은 이 시스템에 ..

선형 상수계수 1차 미분방정식(LCCODE; Linear Constant Coefficient ODE)  1차 시스템에서 유일하며 직관적인 해가 항상 존재하는 형태- LCCODE  들어가며...이번 포스팅은 시스템 해석의 관점에서 선형 상수계수 1차 미분방정식의 완전해를 정리할 것이고, 기초적인 신호(단위 계단, 임펄스, exponential, sinusoidal)에 의한 응답을 유도할 것이다. LCCODE기본 형태는 아래와 같다. 이를 적분인자법을 통해 해를 구하면 아래와 같다. 여기서 기억해야 할 점은 particular solution은 외부 입력의 해와 같고, c는 초기조건에 의해 만들어진다는 사실이다. 여기서 p는 시스템의 pole이라고 하며 이는 시스템의 수렴속도와 안정성을 판별하는데 매우 중..

베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation) 들어가며...이번 포스팅에서는 변수분리법, 동차/완전미방, 적분인자법으로도 해결되지 않는 대표적인 예시인 베르누이 미분방정식을 정리할 것이다. 베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)베르누이 미분방정식은 비선형 1차 미분방정식의 한 형태이다. 비선형 시스템의 모델링에서 유용하게 활용된다. 하지만, 언제까지나 비선형 현상을 모델링하는 초기 단계에서 유용하며, 1차 방정식에 국한되므로, 2차 이상의 시스템에서는 적용이 어려워 미분방정식을 공부할 때 일단은 크게 강조되는 부분은 아니다. 베르누이 미분방정식의 풀이 위 방정식은 우선 비선형 미분방정식이다. 위 식에서 변수치환을 통해 선형 미분방정식..

1차 미분방정식의 적분인자법, 제차해, 비제차해(Integrating factor; Homogeneous solution; Non-homogeneous solution) 들어가며...2025.03.18 - [Mathematics/Differential Equation] - 변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact) 변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)  How a function changes when all its variables change simultaneously?- Total differential 전미분(to..

변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)  How a function changes when all its variables change simultaneously?- Total differential 전미분(total differential)은 종속함수의 모든 변수들의 변화에 대한 함수의 변화를 의미한다. 각각 변수에 대한 함수의 편미분에 각각 변수의 극소 변화량을 곱한 값을 더한 결과는 종속함수의 전미분이다. 들어가며... 이번 포스팅에서는 1차 미분방정식의 가장 기본적인 3가지 형태와 그 해법에 관해 공부할 것이다.  변수분리 미분방정식(Separable DE)아래와 같은 형태로 표현 가능한 미분방정식을 의미한다.이런 경우엔, 아래와 같은 과정으로 해..

상미분 방정식, 선형 미분방정식(Ordinary differential equation; Linear differential equation) 여러가지 모델들과 그 풀이법- 미분방정식의 목적필요성많은 공학적 문제들은 시변 동적 시스템과 관련이 있다. 예를 들어 전자회로, 항공우주시스템, 로봇, 에너지 플랜트와 같은 유형 시스템과 금융공학, 시스템생물학과 같은 무형 시스템과도 관련이 있다.이러한 시스템들은 수학적으로 모델링할 수 있으며, 이것은 주로 미분방정식의 형태로 나타난다. 따라서 동적 시스템의 특성을 잘 이해하기 위해서 미분방정식의 해법이 요구된다. 일반적으로 동적 시스템은 비선형 편미분(PDE: partial differential equation) 방정식으로 기술된다. 여러가지 독립 변수에 의한..