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라플라스 변환, ROC, 부분 분수분해(Laplace Transform; Region of Convergence; Partial Fraction Expansion) 라플라스 변환을 시스템 해석에 사용하는 이유는 무엇인가? 들어가며...라플라스 변환은 개념 자체가 담고 있는 의미가 많고 내용도 많기 때문에(필자에게는 그렇게 느껴진다.) 이번 포스팅에서는 최대한 기본 개념과 계산적인 측면에서 정리할 것이다. 라플라스 변환의 공식 증명, 라플라스 역변환 직접 적분과 같은 내용은 살짝 언급만 하고 굳이 여기서 다루지는 않을 것이다.  라플라스 변환라플라스 변환이 나오게 된 배경은 선형 시스템과 신호 과목에서 깊이있게 다루고 있는 부분이다. 간단히 짚고 넘어가자면, 원래 주기함수에만 적용 가능했던 푸리에 급수를 ..

푸리에 급수, 시스템 해석(Fourier Series; System analysis) 하나의 입출력 쌍이 어떻게 시스템의 모든 정보를 담을 수 있을까?들어가며...2025.03.26 - [Mathematics/Differential Equation] - 푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions)푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 독립된 기저함수가 무수히 많다면 주기..

푸리에 정리, 푸리에 급수, 디리클레 조건(Fourier Theorem; Fourier Series; Dirichlet Conditions) 독립된 기저함수가 무수히 많다면 주기함수를 근사할 수 있지 않을까?  들어가며...연속함수는 종종 정현파 신호의 선형 조합으로 근사된다. 예를 들어, 제어공학에서 신호와 음파, 초음파와 같은 연속 신호를 정현파 신호의 선형 조합으로 나타낼 수 있는 것은 공학적 문제 해석에 강력한 해결책을 제시한다. 연속함수를 정현파 신호로 분리하는 과정을 푸리에 정리라고 하며, 푸리에 정리로 인해 시간 영역에서의 문제를 주파수 영역으로 확장할 수 있다. 이것은 문제 해결을 매우 간단하게 만들며, 주파수 영역에서의 해석이라는 아이디어는 라플라스 변환으로 발전하여 미분방정식을 완성한다..

가중 최소제곱법(Weighted Least-Squares) 오차를 조정하며 파라미터 찾기 들어가며...2025.03.12 - [Mathematics/Linear Algebra] - 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix) 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix)추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix)꿩 대신 닭이다. 들어가며...공간과 차원에 관한 정리는 해가 존재할 것인지 존재하지 않을 것인지 판단하는데 유리하다. 열taesan5435.tistory.com 2025.03.13 - [Mathematics..

내적 공간(Inner Product Spaces) 벡터 공간의 실질적 형태 들어가며...2차원 벡터 공간을 가정할 때, 암묵적으로 유클리드 공간이라고 정의하고 문제를 해결한다. 그러나 엄밀하게 따지면, 2차원 벡터 공간을 가정한 것 만으로 유클리드 공간이라고 단정지을 수 없다. 2차원 벡터 공간에 무수히 많은 내적 공간이 존재하기 때문이다.  유클리드 공간은 무수히 많은 내적 공간 중에서 Dot product에 의해 정의된 공간을 의미하며, 이 정의를 통해 벡터의 길이, 거리, 각도를 정리할 수 있다. 이번 포스팅은 내적 공간의 의미와 그것이 적용되는 예를 살펴볼 것이다. 내적 공간(Inner Product Space)벡터 공간은 벡터들의 집합이다. 벡터들의 집합 만으로 벡터의 길이, 거리, 각도를 정의..

벡터의 내적, 쌍대성(Dot Product; Duality) 자연스럽지만 의외인 대응관계- 쌍대성 들어가며...내적 공간을 공부하기에 앞서, 내적의 기하학적 의미와 행렬 연산에서의 의미의 연결점을 이해할 필요가 있다. 이번 포스팅은 내적이 담고 있는 깊은 의미를 파헤쳐보도록 하겠다. 내적의 연산전체공간이 n차원의 부분공간 벡터공간 V에서 두 벡터 v, w가 다음과 같이 정의되었다고 하자.위 두 벡터의 내적은 다음과 같이 계산한다. 기하학적으로 내적은 아래와 같은 의미를 지니고 있다. 내적은 한 벡터의 정사영 길이와 그 벡터의 길이를 곱한 값이다. 두 개의 벡터가 내적 계산을 거쳐 나온 결과는 하나의 수이며, 이것 수는 두 벡터의 닮은 정도를 의미한다. 예를 들어, 두 벡터가 직교하면, 내적은 0이며, 이..

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 들어가며...이번 포스팅에서는 오일러-코시 방정식의 제차해를 구할 것이다. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)오일러-코시 미분방정식의 형태는 아래와 같다. 오일러-코시 방정식은 계수가 독립변수 x로 정의되는 시변 미분방정식으로, 기저함수가 x^m이다. 따라서 오일러-코시 방정식을 풀기 위해 y에 기저함수를 대입한다. 이때, 특성방정식의 해의 형태에 따라 3가지로 분류 가능하다. 1. 서로 다른 실근 2. 중근 특성방정식이 중근을 가질 때는 계수 내림법을 이용하여 기저함수를 구한다. 계수 내림법은 아래 포스팅을 참조하자.2025.03.21 - [Mathematics/Differential Equation] - 계수 내림법..

멱급수법(Power Series Method) 들어가며...멱급수법은 고차 미분방정식에도 적용 가능하나 복잡한 연산 과정이 필요하다는 단점이 있다. 멱급수법(Power Series Method)멱급수법은 기저함수를 멱급수 형태로 가정한 후, 미분방정식을 만족하는 계수들을 찾는 방법이다. 닫힌 해를 찾는 것이 어려운 미분방정식에서 주로 이용된다. 차수를 적절히 제한한다면, 쓸모 있는 근사 해를 얻을 수 있기 때문이다. 기저함수의 형태는 아래와 같다. Example 이때, a0와 a1은 초기치로부터 얻어진다. 마치며...짧은 글 읽어주셔서 감사합니다.

계수 내림법, 론스키안, 아벨 항등식(Reduction of Order; Wronskian; Abel's identity)  특성방정식이 중근을 갖는 경우, 두 개의 기저함수를 어떻게 정의해야 하는가?- 계수 내림법 들어가며...2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation) 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어t..

선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula) 들어가며...이번 포스팅에서는 선형 시스템 연산자를 이용하여 선형 미분방정식의 특성해를 찾는 공식을 증명할 것이다. 선형 시스템 연산자연산자는 함수를 입력으로 받아 수정된 함수를 출력으로 변환하는 시스템으로, 미분 연산자(D)와 항등 연산자(I) 등이 있다. 선형 시스템 연산자는 상수계수 선형 미분방정식의 특성다항식(Characteristic polynomial)로 정의된다.  선형 시스템 연산자는 아래와 같은 기본 법칙을 만족한다. 특히 아래 2개의 법칙은 기억해두도록 하자. 선형 시스템 연산자에 임의의 2차 다항식을 대입하여 등식이 성립함을 보이면 위 법칙들을 쉽게 증명할 수 ..

상태천이행렬, 적분인자법, 미정계수법(State Transition Matrix; Integrating Factor Method; Method of Undetermined Coefficients)2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation) 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어taesan5435.tistory.c..

선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)  각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다. 들어가며...이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어 특성방정식의 개념이 파생된 과정과, 그 개념을 바탕으로 선형 상수계수 2차 미분방정식의 제차해를 구하는 방법을 정리할 것이다. 별도의 포스팅에서 적분인자법 또는 미정계수법을 통해 선형 상수계수 2차 미분방정식의 특수해를 구하는 과정을 정리할 것이다.  상수계수 2차 선형 미분방정식상수계수 2차 선형 미분방정식은 다양한 물리 시스템의 거동 특성을 모델링 및 해석하는데 널리 사용된다. 아래는 상수계수 2차 선형 미분방정식의 형태이다. 여기서 좌변은 물리적 시스템의 특성을, 우변은 이 시스템에 ..

선형 상수계수 1차 미분방정식(LCCODE; Linear Constant Coefficient ODE)  1차 시스템에서 유일하며 직관적인 해가 항상 존재하는 형태- LCCODE  들어가며...이번 포스팅은 시스템 해석의 관점에서 선형 상수계수 1차 미분방정식의 완전해를 정리할 것이고, 기초적인 신호(단위 계단, 임펄스, exponential, sinusoidal)에 의한 응답을 유도할 것이다. LCCODE기본 형태는 아래와 같다. 이를 적분인자법을 통해 해를 구하면 아래와 같다. 여기서 기억해야 할 점은 particular solution은 외부 입력의 해와 같고, c는 초기조건에 의해 만들어진다는 사실이다. 여기서 p는 시스템의 pole이라고 하며 이는 시스템의 수렴속도와 안정성을 판별하는데 매우 중..

베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation) 들어가며...이번 포스팅에서는 변수분리법, 동차/완전미방, 적분인자법으로도 해결되지 않는 대표적인 예시인 베르누이 미분방정식을 정리할 것이다. 베르누이 미분방정식(Bernoulli Differential Equation)베르누이 미분방정식은 비선형 1차 미분방정식의 한 형태이다. 비선형 시스템의 모델링에서 유용하게 활용된다. 하지만, 언제까지나 비선형 현상을 모델링하는 초기 단계에서 유용하며, 1차 방정식에 국한되므로, 2차 이상의 시스템에서는 적용이 어려워 미분방정식을 공부할 때 일단은 크게 강조되는 부분은 아니다. 베르누이 미분방정식의 풀이 위 방정식은 우선 비선형 미분방정식이다. 위 식에서 변수치환을 통해 선형 미분방정식..

1차 미분방정식의 적분인자법, 제차해, 비제차해(Integrating factor; Homogeneous solution; Non-homogeneous solution) 들어가며...2025.03.18 - [Mathematics/Differential Equation] - 변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact) 변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)  How a function changes when all its variables change simultaneously?- Total differential 전미분(to..

변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)  How a function changes when all its variables change simultaneously?- Total differential 전미분(total differential)은 종속함수의 모든 변수들의 변화에 대한 함수의 변화를 의미한다. 각각 변수에 대한 함수의 편미분에 각각 변수의 극소 변화량을 곱한 값을 더한 결과는 종속함수의 전미분이다. 들어가며... 이번 포스팅에서는 1차 미분방정식의 가장 기본적인 3가지 형태와 그 해법에 관해 공부할 것이다.  변수분리 미분방정식(Separable DE)아래와 같은 형태로 표현 가능한 미분방정식을 의미한다.이런 경우엔, 아래와 같은 과정으로 해..

상미분 방정식, 선형 미분방정식(Ordinary differential equation; Linear differential equation) 여러가지 모델들과 그 풀이법- 미분방정식의 목적필요성많은 공학적 문제들은 시변 동적 시스템과 관련이 있다. 예를 들어 전자회로, 항공우주시스템, 로봇, 에너지 플랜트와 같은 유형 시스템과 금융공학, 시스템생물학과 같은 무형 시스템과도 관련이 있다.이러한 시스템들은 수학적으로 모델링할 수 있으며, 이것은 주로 미분방정식의 형태로 나타난다. 따라서 동적 시스템의 특성을 잘 이해하기 위해서 미분방정식의 해법이 요구된다. 일반적으로 동적 시스템은 비선형 편미분(PDE: partial differential equation) 방정식으로 기술된다. 여러가지 독립 변수에 의한..

최소자승추정, 목적함수, 정점조건, 최소조건(Least-Squares Problems; objective function; stationarizing condition; minimizing condition) 들어가며...직교방정식과 추정 문제에 관해서 이전 포스팅에서 이미 다루었다. 아래를 참고하기를 바란다.2025.03.12 - [Mathematics/Linear Algebra] - 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix) 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix)추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix..

그람-슈미트 과정(Gram-Schmidt process) 특정 공간을 좀 더 '좋은' 기저벡터로 표현할 수 있으면 좋을텐데... 들어가며...좋은 기저벡터는 상황에 따라 그 의미가 다르겠지만, 보편적으로 계산이 간단하여 다양한 부분에 적용 가능한 벡터이다. 보통 이러한 기저벡터를 정규직교 기저벡터(Orthonormal basis)로 꼽는다. 이번 포스팅은 임의의 기저벡터에 대해 정의된 부분공간의 정규직교 기저벡터를 구하는 방법인 그람-슈미트 과정을 정리한다. 정사영 변환2025.03.12 - [Mathematics/Linear Algebra] - 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix) 추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation..

추정문제, 정사영, 정사영 행렬(Estimation; projection; projection matrix)꿩 대신 닭이다. 들어가며...공간과 차원에 관한 정리는 해가 존재할 것인지 존재하지 않을 것인지 판단하는데 유리하다. 열공간은 우리에게 해의 존재 유무를 확실하게 알려준다. 만약 해가 존재하지 않는 경우엔 어떻게 해야 할까? 우리는 그 해에 최대한 근접한 값을 찾아야 할 것이다. 해가 존재하지 않는 경우에 선형대수학의 주요 문제는 선형 연립방정식 풀이 문제에서 추정문제로 넘어간다. 아래 포스팅에서 추정 문제에 대한 내용을 다루었다.2025.03.03 - [Mathematics/Linear Algebra] - 공간과 차원(Space&Dimension) 공간과 차원(Space&Dimension)공간과..

행렬식(Determinant), 여인자(cofactor), 외적(Cross-product) 들어가며...이번 포스팅에서 행렬식과 관련한 모든 내용을 다룰 것이다. 행렬식의 개념과 행렬식 계산의 규칙, 역행렬 연산법, 외적의 의미 등등을 정리할 것이다. 행렬식(Determinant)행렬식의 용도는 매우 다양하다. 가장 먼저 행렬식의 기하학적 의미는 행렬을 구성하는 열벡터들로 정의되는 직육면체(parallelepiped)의 체적(volume)이다. 후에 Gram-Schmidt Orthogonalization에서 구체적으로 정리할 것이다. 중요한 점은 행렬식은 기하학적으로, 열벡터들이 구성하는 도형의 넓이 또는 부피라는 점이다. 이 행렬식들은 아주 쉽게 구할 수 있는데, 만약 행렬을 가우스 소거법으로 주축항(..

직교행렬, 정규직교행렬(Orthogonal matrix; Orthonormal matrix)어떤 기저벡터를 택할 때 벡터연산이 편리한가?들어가며...기저벡터 개념을 통해 벡터공간을 나타내는 기저벡터의 경우의 수는 무수히 많음을 알 수 있다. 하지만, 어떤 기저벡터는 다른 기저벡터보다 연산이 매우 용이하다. 오늘은 정규직교행렬의 개념과 그에 관한 예시인 좌표변환행렬과 Reflection matrix를 살펴볼 것이다. 정규직교행렬(Orthonormal matrix)크기가 1인 행벡터들로 이루어진 직교행렬을 의미한다. 정규직교행렬은 다음과 같은 특징이 있다. 정규직교행렬은 역변환이 굉장히 쉽다는 장점이 있다. 좌표변환행렬(Rotation Matrix); DCM(direction cosine matrix)좌표변..

열공간; 영공간, 행공간(Column space; Null space; Row space)시스템에 전체 공간을 넣었더니 어떤 공간은 흔적도 없이 사라져서 전체 공간중 일부만 남게 되었다.흔적도 없이 사라진 공간은 영공간(Null space)이며, 영공간의 소멸로 인해 남게된 전체 공간의 일부는 행공간(Row space)이고, 이에 대한 시스템의 출력은 열공간(Column space)이다.들어가며... 이번 포스팅은 열공간, 영공간, 행공간의 개념을 정리하고, 각각의 직교성과 차원에 대하여 밝힐 것이다. 영공간과 열공간을 이해하는데 차원과 Rank에 대한 이해가 필수적이다. 따라서 아래 포스팅을 꼭 읽고 오길 권장한다.2025.03.04 - [Mathematics/Linear Algebra] - 벡터공간,..

벡터공간, 부분공간(vector space, subspace), Rank모든 국가는 이념 위에 세워지는 법이다.들어가며...국가를 벡터 공간(Vector space)에 비유한다면 이념은 영벡터 만으로 이루어진 벡터 공간(smallest possible vector space)이다. 벡터 공간(Vector space)벡터 공간의 정의는 선형조합에 의해 만들어진 벡터들의 집합(set of vector)이다. 이것을 행렬로 표현한다. 참고로, 행렬들의 집합은 모듈이라고 한다.  영공간(Zero space; Trivial vector space)* 영공간(Zero space)는 영공간(Null space)와 혼동이 있을 수 있기 때문에, Z로 표현하도록 하겠다.벡터 공간 중에서 가장 작은 벡터 공간은 영벡터 만..

공간과 차원(Space&Dimension)공간은 '가능한' 모든 가능성이다. 차원은 공간을 이루는 정보의 개수이다. 선형대수학의 3가지 문제  선형대수학의 주요 문제를 이해하고 이것을 해결하는 법에 대해 생각할 때, 공간과 차원에 대한 이해는 필수적이다. 이 포스팅은 선형대수학의 주요 문제들을 짚어보며 공간과 차원의 의미를 이야기할 것이다. 선형대수학의 주요 문제는 3가지로 요약할 수 있다. 먼저 첫 번째는 선형 연립방정식의 풀이이다. 1. 선형 연립방정식 위와 같은 형식의 방정식을 선형 연립방정식이라 한다. 선형 연립방정식이라고 정의하는 이유는 위 시스템은 x성분의 선형결합으로 구성된 여러 방정식의 결합으로 이루어졌기 때문이다. 행렬 A는 벡터 x의 기저 벡터의 가중치의 묶음이고, 벡터 b는 벡터 x의..

야코비 행렬(Jacobian matrix); 야코비 행렬식(Jacobian determinant) Intro오늘 다룰 내용은 다변수함수의 치환적분이다.%================================================%Handong Global University%------------------------------------------------%Name: Taesan Kim%ID: 22300203%Create: 2024.09.18%Modifire: 2024.09.18%------------------------------------------------%특이적분과 관련한 Figure을 제공한다.%==============================..

Solving Non-Linear Equations IntroThis posting will give you some methods to help you find a nonlinear equation's approximated value. Before organizing our purpose, let's see this example problem. Example MATLAB function%================================================%Handong Global University%------------------------------------------------%Name: Taesan Kim%ID: 22300203%Create: ..

Numerical Solution Error and Taylor Series IntroNumerical method is processed in a digital system such as PC or MCU. The main problem of numerical method is that it can produce errors due to limited number of digits representing numbers, chopping, round-off, and truncation errors. We will analyze the total error of the numerical solution. Representation of ErrorAbsolute total error:Absolute Erro..

푸비니의 정리(Fubini's theorem); 입체의 부피와 중심  Intro오늘은 다변수 함수의 적분 기초지식에 해당하는 푸비니의 정리를 다룬다. 어떤 입체가 차지하는 범위 또는 그 입체의 단면을 이루는 함수를 알고 있을 때, 입체의 부피를 구하는 것이 오늘 포스팅의 목적이다. 이중적분(Double integral)이중적분(Double integral)은 일변수함수의 정적분의 아이디어를 이변수함수로 확장하여 평면의 일부인 면 위에서 적분하는 것이다. 이중적분의 정의는 다음과 같다. 만약 x, y의 범위가 각각 [2, 4], [4, 8]이라고 가정한다면, △Bij는 전체넓이(4)를 N개의 조각만큼 나눈 면적으로, 4/N이 되고, Pij는 각 조각의 중심의 좌표이다. 푸비니(Fubini) 정리이중적분을 ..

테일러 정리(Taylor's theorem)테일러 정리가 돌아왔다. 오늘은 이전에 배운 테일러급수와 테일러 정리의 확장판이다. 다변수함수에서 테일러 정리를 적용하는 법을 배운다. 테일러 정리를 처음 접하는 분들은 다음 포스팅을 먼저 보고 오길 바란다.2024.08.02 - [Mathematics/Calculus] - 테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series) 테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)   테일러 급수란, 한 점 C부근에서 f(x)와 비슷한 함숫값을 구하기 위한 무한 차수 근사식과 같다.   Q. 우리는 e^(0.1)값을 어떻게 계산할 수 있을까?  Qtaesan5435.tistory.comIntro오늘 다룰 내용은 ..