행렬식(Determinant), 여인자(cofactor), 외적(Cross-product)

행렬식(Determinant), 여인자(cofactor), 외적(Cross-product)

 

들어가며...

이번 포스팅에서 행렬식과 관련한 모든 내용을 다룰 것이다. 행렬식의 개념과 행렬식 계산의 규칙, 역행렬 연산법, 외적의 의미 등등을 정리할 것이다.

 

행렬식(Determinant)

행렬식의 용도는 매우 다양하다. 가장 먼저 행렬식의 기하학적 의미는 행렬을 구성하는 열벡터들로 정의되는 직육면체(parallelepiped)의 체적(volume)이다. 후에 Gram-Schmidt Orthogonalization에서 구체적으로 정리할 것이다. 중요한 점은 행렬식은 기하학적으로, 열벡터들이 구성하는 도형의 넓이 또는 부피라는 점이다. 이 행렬식들은 아주 쉽게 구할 수 있는데, 만약 행렬을 가우스 소거법으로 주축항(pivots)만 남긴 상태라면, 행렬의 주축항의 곱이 곧 행렬식이 된다. 이것은 후에 행렬식 계산의 공리에서 더 자체히 볼 것이다.

행렬식의 기하학적 의미

 

또한, 행렬식은 정방행렬의 역행렬 존재 여부 판별에서 사용된다. 만약 행렬식이 0이라면, 특이행렬로, 역행렬이 존재하지 않는 행렬이다. 마지막으로 행렬식은 벡터공간의 체적비(influence coefficient)를 의미한다. 예를 들어, 비특이행렬인 A로 설명 가능한 시스템이 존재한다고 가정할 때, 아래와 같이 표현 가능할 것이다.

만약 A의 행렬식이 작다고 가정할 때, b의 변화에 대한 x의 민감도가 증가하는 것을 의미한다. 이런 관점에서 A의 행렬식을 시스템의 condition number이라고 정의하기도 한다.

 

행렬식의 연산방법

행렬식의 연산방법은 앞에서 언급한 주축항 활용법, Big formula로 정의되기도 하는 행렬 직접 활용법, 일반화를 고려할 때 가장 효율적인 여인자(공통인자, cofactor)활용법, 마지막으로, Cramer's Rule 이렇게 4가지가 있다. 이번 포스팅에서는 Big formula와 Cramer's Rule는 다루지 않도록 하겠다.

주축항 활용법

주축항 활용법을 설명하기 전에 다음 행렬식의 기본 성질을 알아둘 필요가 있다.

1. 행렬식은 행의 합 및 스칼라 곱에 대해 선형성을 만족한다.

 

2. 행렬의 두 행을 맞바꿀 경우, 행렬식의 부호가 변화한다.(만약 두 행이 동일한 경우, 두 행을 맞바꿔도 같은 행렬이므로, 두 행이 동일한 경우에 행렬식은 0이다.)

 

3. 대각 행렬의 행렬식은 대각성분의 곱으로 계산된다.

 

4. 삼각행의 행렬식도 대각성분의 곱으로 계산된다.

 

5. 임의의 행의 상수배를 다른 행에서 빼더라도 행렬식 계산 결과가 같다.

 

6. 전치행렬의 행렬식은 행렬의 행렬식과 동일하다.(Transpose는 행렬식에 아무런 영향을 주지 못한다.)

- 행렬을 상삼각행렬과 하삼각행렬로 분해했을 때, 두 행렬 모두 transpose를 취해도, 행렬식은 대각성분의 곱이므로, 행렬식에 변화가 없다.

 

7. 행렬곱의 행렬식은 각 행렬의 행렬식의 곱과 같다.(A의 역행렬의 행렬식은 A의 행렬식의 역수이다.)

 

여인자 활용법(cofactor)

여인자 활용법을 통해 행렬식의 계산을 일반화할 수 있다. 일반화는 컴퓨터를 통한 계산을 용이하게 하므로, 여인자 활용법이 가장 보편적인 계산 방법이다. 3차원에서 정의된 정방행렬을 예로 들어보겠다.

위 식과 같이, A의 행렬식은 3개의 소행렬식에 대해서 나타낼 수 있다. 위에서 M은 소행렬식이며, a의 행과 열을 제외한 부분행렬의 행렬식을 의미한다. 위 식을 자세히 보면, 소행렬식 앞에 행렬 요소가 곱해져 있고, 그 앞에 특정 부호가 곱해져 있는 것을 확인할 수 있다. 위에서 특정 부호와 소행렬식이 곱해진 것을 여인자(cofactor)이라 정의한다. 위 식을 일반화하면 다음과 같다.

여인자 공식의 일반화

위 식에서 빨간 부분과 파란 부분은 a1j의 여인자를 의미하며, M은 소행렬식을 의미한다.

 

역행렬 연산법

역행렬 연산식을 도출하기 위해 한 가지 예를 들어 보겠다. Ax = b라는 시스템이 있다고 하고, 이때, A를 3차원 전체공간에서 정의된 정방행렬이라고 가정한다.

위 시스템은 다음 식을 만족한다.

따라서 벡터 x를 다음과 같이 표현 가능하다.

이때, 벡터 b를 Identity matrix라 한다면, x가 아닌, 행렬로 표현할 수 있을 것이다. 또한 Ax = I이기 때문에 이때 x의 값은 A의 역행렬을 의미할 것이다. 벡터 b가 identity matrix라 가정하고 위 식을 다시 표현하면 다음과 같다.

위 연산을 반복수행하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

위 연산을 행렬로 확장하면, 아래의 결과를 얻을 수 있다.

역행렬 연산, 여인자행렬

위에서 adj(A)는 A의 여인수 행렬의 Transpose이며, det(A)는 A의 determinant라는 의미이다.

 

외적(Cross-Product)

외적은 두 벡터에 대해 오른손 법칙을 적용한 벡터이다. 두 벡터의 외적 결과는 scalar가 아니라 벡터임을 확인할 수 있다. 외적의 수학적 의미는 행렬식과 매우 깊은 관계가 있는데, 이는 외적의 연산방법이 행렬식 연산 그 자체이기 때문이다.

 

만약 3차원 전체공간에서 정의된 2 벡터가 이루는 도형의 넓이는 어떻게 구할까? 물론 우리는 이 도형의 넓이를 scalar로 구할 것이다. 하지만, 중요한 점은 평면의 넓이에도 방향이 존재한다는 점이다. 유체역학은 이를 이해하는데 도움이 된다. 그 방향은 평면에 수직으로 나오는 방향이다. 따라서 외적의 결과는 두 벡터가 이루는 도형(평행사변형)의 넓이를 길이로 가지고, 그 도형에 대해 수직으로 나오는 방향의 벡터이다.  외적의 의미를 수학적으로 정리하면 아래와 같다.

벡터의 외적

물리적으로 외적 벡터의 길이를 구하는 방법이 있다. 외적의 길이는 물리적으로, 두 벡터의 길이와, 사잇각의 사인값을 곱한 값이다.

이를 식으로 정리하면 아래와 같다.

 

마치며...

오늘은 행렬식에 관하여 다소 방대한 내용을 다루었다. 행렬식의 기본 연산법, 여인자를 이용한 연산법. 그리고 그 연산법을 통해 역행렬을 구하는 방법을 살펴보았다. 마지막으로, 행렬식과 깊은 연관이 있는 외적에 대해 살펴보았다. 추가적으로, 야코비안 행렬식도 널리 사용되는 행렬식의 일종인데, 궁금한 사람들은 야코비안 행렬식 포스팅도 참고하길 바란다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.

2024.10.03 - [Mathematics/Vector Calculus] - 야코비 행렬(Jacobian matrix); 야코비 행렬식(Jacobian determinant)

야코비 행렬(Jacobian matrix); 야코비 행렬식(Jacobian determinant)