야코비 행렬(Jacobian matrix); 야코비 행렬식(Jacobian determinant)

야코비 행렬(Jacobian matrix); 야코비 행렬식(Jacobian determinant)

 

Intro

오늘 다룰 내용은 다변수함수의 치환적분이다.

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%Handong Global University
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%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.09.18
%Modifire:  2024.09.18
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%특이적분과 관련한 Figure을 제공한다.
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clc; clear all; close all;

X = struct('Start', -2.0, ...
           'Final', 2.0, ...
           'xs', 1e-4);
xs = X.xs;
X.time = X.Start:xs:X.Final;
x = X.time;

figure, grid on, hold on; 
plot(x, exp(-x.*x), "r-");
legend('e^{-x^2}');
title('Graph of e^{-x^2}');
xlabel("x"); ylabel("y");
set(gca, 'fontsize',12);

 

우리는 위 그래프를 적분하기 위해 치환적분을 한다. 치환적분의 물리적인 의미를 잘 생각해보면 치환적분은 기저변환과 깊은 연관이 있음을 알 수 있다. 

 

위 예시에서는 변수가 하나뿐이기에 고등학교때 배웠던 치환적분 개념을 이용하여 그래프의 넓이를 알 수 있다. 그러나, 변수가 여러개일때는 어떻게 해야할까? 경우에 따라 이것은 매우 어려워질 수 있다. 우리는 치환적분을 할 때에 계산에 용이한 적절한 기저를 선택하고 그 기저로 기존 기저를 변환해야 한다. 야코비안 행렬은 이 과정을 매우 쉽게 바꿔준다.

 

*기저

2024.08.11 - [Mathematics/Linear Algebra] - 기저변환 Change of Basis

기저변환 Change of Basis

 

 

야코비 행렬(Jacobian matrix)

자 생각해보자. 정의역 x, y, z에 대해 정의된 함수 F가 있다고 해보자. 이때 함수 F의 치역은 u, v, w에 대해 정의되었다고 생각해보자. 이때, x, y, z, u, v, w는 모두 벡터이다. 이 함수를 잘 분석해보면 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다.

 

아래와 같이 정의한다.

함수를 행렬의 곱으로 표현할 수 있다. 만약 이 함수에서 정의역 x, y, z로 나타낸 값과 정의역 u, v, w로 나타낸 값 사이의 비율을 알 수 있다면 우리는 적분 경로를 달리하면서 원하는 적분값을 구할 수 있다. 

그 비율이 야코비 행렬식이며, 예상했듯이 위 식에서 A를 야코비 행렬이라 한다. 

 

한편, 벡터의 적분 관점에서 볼 때, 위 예시에서 기존 정의역의 변수는 x, y, z로 3개가 존재하며, 이들은 각각 u, v, w의 정보를 구성한다. 즉, 위 예제에서 3개의 변수를 설명하는 3개의 함수가 존재하며, 이 3개의 함수는 모두 3변수로 이루어져 있다. 

이 식을 잘 곱씹어 보자. 위 식에서 a가 의미하는 바는 무엇일까? a가 의미하는 바는 u, v, w를 각각의 변수 x, y, z에 대해서 편미분한 값이다. 이를 통해 우리는 야코비 행렬이 그래디언트와 깊은 연관이 있음을 알 수 있다. 야코비 행렬은 각 변수의 그래디언트의 집합이다.

 

야코비 행렬(Jacobian matrix)은 아래와 같이 정의 가능하다.

 

야코비 행렬식 (Jacobian determinant) & 야코비안 (Jacobian)

야코비 행렬의 determinant를 야코비 행렬식 또는 야코비안이라고 한다. 물리적으로는, 입력과 출력값 사이의 비율을 의미한다. 야코비 행렬식은 어떤 영역의 넓이 혹은 부피의 변화율과 관련이 있다. 3x3행렬인 경우에는 부피의 비율이고, 2x2행렬인 경우에는 넓이의 비율임을 알 수 있다.

 

선형변환의 치환적분

F라는 선형변환이 2차원간의 선형변환이고, A가 2x2 행렬이라고 하자.

 

 

선형변환의 치환적분 예제

 

예제

다음을 모두 증명하시오.

극좌표변환

 

원기둥좌표변환

 

구면좌표변환

 

 

마치며...

다들 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 이해가 어려우신 분들은 행렬식에 관한 포스팅을 올려 놓았으니, 참고하시면 야코비안 행렬식을 이해하는데 도움이 될 것이라 기대합니다.

2025.03.08 - [Mathematics/Linear Algebra] - 행렬식(Determinant), 여인자(cofactor), 외적(Cross-product)

행렬식(Determinant), 여인자(cofactor), 외적(Cross-product)