기저변환 Change of Basis

기저변환 Change of Basis

이번 장에서는 기저 변환과 관련된 주요 개념들과 유도 과정을 정리할 것이다.

 

Coordinate vector

Suppose

X = 3b1 + b2 = 6c2 + 4c2

Basis B = {b1 , b2} , C = {c1 , c2}

이때, B, C각각의 Coordinate vector은 다음과 같다.

Coordinate vector

 

Change-of-coordinates matrix

예를 하나 들어보자

Consider two basis B = {b1, b2} and C = {c1, c2} for a vector space V, such that

• b1 = 4c1 + c2
• b2 = -6c1 + c2
• x = 3b1 + b2

Find C-coordinate vector.

 

Sol)

Change-of-coordinates matrix from B to C

위 식에서 1 과정은 아래 포스팅을 보면 이해가 갈 것이다.

2024.07.29 - [Mathematics/Linear Algebra] - 선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

 

위 과정에서 보면 알 수 있듯이 B-coordinate vector로부터 C-coordinate vector을 구하기 위해서 특정한 행렬을 행렬곱해야 한다. 이때 곱해지는 행렬이 Change-of-coordinates matrix from B to C이다.

 

각각의 coordinate vector의 관계를 선형 변환 관점에서 그림으로 정리하면 다음과 같다.

기저변환

기저변환의 성질

이미 예상을 했겠지만 기저변환은 다음과 같은 성질을 갖고 있다.

 

Q. 만약 B, C각각의 기저를 Standard basis {e1, ... , en}으로 변환하면 어떻게 표현할까?

위 PB를 통해 맨 위에서 언급했던 X를 표현할 수 있다.

 

X = PB * [X]B

위 식처럼 역행렬을 사용하여 표현하는 방법도 있다.

 

Example of Change of Basis

위 풀이를 기호로 정리한 식이 다음과 같다.

위 공식을 통해 우리는 B의 기저벡터(B-coordinate vector) 앞에 C기저벡터의 역행렬(Inverse C-coordinate vector)을 곱하면 Change-of-coordinates matrix from B to C를 구할 수 있음을 알 수 있다.

 

이를 매트랩으로 구현하면 다음과 같다.

clc; clear all; close all;

% 원래 벡터
v = [3; 4];

% 새로운 기저 벡터
B = [1 -1; 1 1];

% 새로운 기저로 변환된 벡터 계산
v_new = inv(B) * v;

% 결과 출력
disp('원래 기저에서의 벡터 v:');
disp(v);

disp('새로운 기저에서의 벡터 v_new:');
disp(v_new);