라그랑주 승수법(Lagrange Multplier Method)

라그랑주 승수법(Lagrange Multplier Method)

 

Motivation example

위 그래프의 Matlab 코드는 다음과 같다.

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%Handong Global University
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%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.08.16
%Modifire:  2024.08.16
%------------------------------------------------
%타원체의 시각화를 지원한다.
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clc; clear all; close all;

X = struct('start', -3.0, ...
           'Xs', 0.2, ...
           'stop', 3.0);
X.time = X.start : X.Xs : X.stop;
x = X.time;

Y = struct('start', -3.0, ...
           'Ys', 0.2, ...
           'stop', 3.0);
Y.time = Y.start : Y.Ys : Y.stop;
y = Y.time;

[X_mesh, Y_mesh] = meshgrid(x, y); 
%x와 y는 벡터이다. surf함수는 xyz모두 행렬이 되여야 하므로
% x와 y에 대한 행렬로 변환시켜야 한다.

f_squared = (10 - (X_mesh .* X_mesh + Y_mesh .* Y_mesh)) / 2;
f = sqrt(f_squared);

f(f_squared < 0) = NaN;

surf(X_mesh, Y_mesh, f); 
%3차원 곡면 플롯.
%Z행렬에는X-Y평면의 그리드 위 높이로 플로팅.

xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('f(X,Y)');
title('3D Surface plot of f(X,Y)');

 

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Intro

자 보자. 위 그래프를 이용해서 오늘은 재밌는 걸 해볼 것이다. 위 입체도형의 등위면을 생각해보자. 그리고, 임의의 점 P는 등위면의 테두리만 돌 수 있다. 이때, x + y + z가 최대가 되게 하는 P의 좌표를 찾을 수 있겠는가? 

 

만약 2개의 변수로 표현된 산을 등반한다고 하자. 우리는 이차함수 곡선의 경로를 따라 움직인다. 그렇다면 특정 경로에서 최고점의 좌표를 구할 수 있을까? 이를 해결하기 위해 먼서 산의 등고선을 본다. 우리의 등고선을 제약조건으로써 고정시키고, 이차함수 곡선 경로의 배수를 변화시킨다. 그림은 다음과 같다. 

위에서 g=c가 제약조건이고, 이때 제약조건과 접하는 함수의 접점의 좌표를 최대최소점이라 할 때, 그 함수를 목적함수라 한다.

잠시 기울기벡터 이야기를 하면, 접점에서는 기울기벡터가 서로 dependent하다는 사실을 발견할 수 있다. 따라서 우리는 기울기벡터가 같은 조건에서, 제약조건에서의 정의역과 목적함수가 접하도록 하는 상수를 구하는 것이 목표이다. 그 상수를 람다로 표시한다.

 

라그랑주 승수법(Lagrange Multplier Method)

라그랑주 승수법은 P좌표를 찾는데 매우 유용한 도구이다. 정의는 다음과 같다.

함수 f와 g가 미분가능할 때, g의 등위면 g = c를 만족하는 점 P에서 f가 극대 혹은 극솟값을 가진다고 하자. 이때 P에서 Gradient g가 0이 아니면 다음 식을 만족하는 실수 람다가 존재한다.  

 

라그랑주 승수법

 

제약조건 constraint, 목적함수 objective function

g = c를 제약조건, f를 목적함수라고 한다. (점 P는 g = c인 곳에서만 존재할 수 있도록 제약되고, P의 목적은 f의 극점에 존재하는 것이다.)

 

 

증명

사실 바로 이해가 기는 힘들 것이라고 믿는다. 나는 힘들었다. 결론만 말하자면, 위 라그랑주 승수법에 따르면 점 P에서 f와 g의 기울기벡터가 서로 평행하다는 정리이다. 람다는 임의의 실수이며, 우리가 찾아야 하는 값이다. 느낌이 오는가?

 

따라서 라그랑주 승수법을 증명하는 것은 왜 점 P에서 f와 g의 기울기벡터가 서로 평행한 지 보이면 된다. 이것을 보이는 방법은 매우 간단하다. 증명은 다음과 같다. 먼저 g = c 위의 점 P를 지나는 미분가능한 곡선의 매개변수식 X(t)를 정의한다. t = 0일 때 X(0) = P로 정의한다. 그럼 다음과 같은 식이 성립한다.

 

 

t = 0에서 f는 극점을 지나므로, t = 0에서 f의 미분계수는 0이 되어야 한다. 그리고 연쇄법칙에 따르면 다음과 같은 식이 성립한다.

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2024.08.16 - [Mathematics/Calculus] - 연쇄법칙과 음함수 정리(Chain Rule and Implicit Function Theorem)

연쇄법칙과 음함수 정리(Chain Rule and Implicit Function Theorem)

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따라서 P에서 f의 기울기벡터와 t = 0에서 X(t)의 미분계수는 서로 수직임을 알 수 있다. 반대의 경우도 살펴보자. g(X(t)) = c이므로, 다음과 같은 식이 성립한다.(상수를 미분하면 0이므로.)

 

 

위 두 결과를 통해 점 P에서 f와 g의 기울기벡터는 서로 평행임을 확인할 수 있다. 자 그럼 말을 수식으로 정리하면 다음과 같은 식이 나온다.

 

짜잔~! 아마 이제 다들 이해했을 거라 믿는다. 그럼 곧바로 예제를 풀어보자.

 

Exercise 1

1번은 그냥 계산연습 문제로 가져왔다.

 

다음 타원체 위의 점 중 f(x, y, z) = x + y + z가 최대가 되는 점 P를 찾아라. 타원체의 방정식은 다음과 같다.

문제 1번 방정식

풀이 푸리푸리에 올려놓았다.

풀이

 

Exercise 2

1번에서 생각 +1스푼.. 2번 문제는 약간 까다롭다.

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%Handong Global University
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%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.08.16
%Modifire:  2024.08.16
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%타원체의 시각화를 지원한다.
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clc; clear all; close all;


center = [0, 0, 0];  % Ellipsoid 중심
radii = [3, 2, 4];   % Ellipsoid 반지름

% Ellipsoid 생성
[x, y, z] = ellipsoid(center(1), center(2), center(3), radii(1), radii(2), radii(3));

figure;
surf(x, y, z);

xlabel('X'); ylabel('Y'); zlabel('Z');
title('3D Ellipsoid'); axis equal;

위 타원의 방정식은 다음과 같다.

 

위 타원 안에 직육면체를 넣으려고 한다. 직육면체의 부피가 최대가 되도록 하는 가로, 세로, 높이를 정하여라... 단, 직육면체 각 모서리는 각 좌표축과 평행하거나 수직 하다.

 

풀이 2

 

연립방정식은 정말 싫다. 극혐이다. 

 

마치며...

깊이 있게 들어가지는 않았다. 아마 답답하신 분들이 있을 거라 생각한다. 람다의 의미에 대해 다루지 않았고, 실생활에 어떻게 적용되는지 감이 오지 않는 분도 있을 거라 믿는다. 궁금한 사람들은 라그랑주 함수(Lagrangean function)에 대해 공부해 보면 람다의 의미를 알 수 있을 것이다. 경제학에서 라그랑주 승수법을 많이 사용할 기회가 있을 것이다. 예를 들어 효용함수가 주어지고(목적함수), 가격과 예산(제한조건)이 주어진다면 우리는 소비자 만족도가 최고가 되도록 하는 물건의 수량을 라그랑주 승수법을 통해 정할 수 있다. 앞으로 라그랑주 승수법을 적극 이용하여 실생활의 문제 해결에 기여했으면 좋겠다. 여기까지 오느라 수고했다. 축하한다!