테일러 정리(Taylor's theorem)

테일러 정리(Taylor's theorem)

테일러 정리가 돌아왔다. 오늘은 이전에 배운 테일러급수와 테일러 정리의 확장판이다. 다변수함수에서 테일러 정리를 적용하는 법을 배운다. 테일러 정리를 처음 접하는 분들은 다음 포스팅을 먼저 보고 오길 바란다.

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2024.08.02 - [Mathematics/Calculus] - 테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

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Intro

오늘 다룰 내용은 테일러 정리를 통해 다변수함수 위의 점을 근사하는 방법이다. 우리는 다음 식의 근삿값을 알고 싶다.

 

오늘 이 포스팅을 완전히 이해하면 이 녀석의 근삿값을 원하는 오차범위 내에서 구할 수 있다.

 

 

테일러 정리

테일러 정리란, 테일러 공식을 만족하는 c가 (0, 1)의 범위에서 존재한다는 것을 보여준다. 테일러 공식은 무엇이고, c는 무엇을 의미할까? 다음은 테일러 공식이다.

 

테일러 공식

 

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D가 무엇인지는 위 포스팅에서 다루는 것으로 한다.

2024.08.15 - [Mathematics/Calculus] - 기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

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테일러 다항식 Taylor polynomial, 오차항 remainder term

위에 소개된 테일러 공식은 테일러 다항식과 오차항으로 이루어져 있다.

 

테일러 다항식

 

 

위 식은 (n-1) 차 테일러 다항식이다. (n-1) 차 근사식이라고도 한다.

 

 

 

 

위 식을 나머지항 또는 오차항이라고도 한다. 이때 Pc = P + cv이다.

*테일러 공식의 오차항은 n의 증가에 따라 기하급수적으로 증가한다. 종종 현실에서는 2차 근사식을 사용한다. 오차항이 이미 무시할 수 있을 정도로 작아지기 때문이다.

 

Exercise

바아로 그냥 연습문제 가자.

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1. 다음 함수의 (0, 0)에서의 이차근사식과 오차항을 구하여라.

 

연습문제 1

이차근사식 구하기

오차항 구하기

 

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2. 다음 식의 근삿값을 구하여라.

 

 

위에서 구했던 이차근사식에 (0.1, 0.2)를 대입한다. 결과는 1.085이다. 오차항에서 삼각함수는 커봐야 1이므로, 1로 두고, e 지수함수도 0.1에서 1.105가 최대이다. 각 항의 절댓값의 합보다 오차항이 작을 것이므로, 0.013보다 오차값이 작음을 알 수 있다.

 

마치며...

테일러 정리는 제어공학에서 비선형 시스템을 분석할 때, 동작점 근처에서 섭동항을 이용하여 비선형 시스템을 선형 미분방정식으로 근사하는데 이용된다. 관련 포스팅을 올려놓도록 하겠다.

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2024.08.19 - [Engineering/Linear System and Signal] - Linearization of Nonlinear system

Linearization of Nonlinear system

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