푸비니의 정리(Fubini's theorem); 입체의 부피와 중심

푸비니의 정리(Fubini's theorem); 입체의 부피와 중심

 

 

Intro

오늘은 다변수 함수의 적분 기초지식에 해당하는 푸비니의 정리를 다룬다. 어떤 입체가 차지하는 범위 또는 그 입체의 단면을 이루는 함수를 알고 있을 때, 입체의 부피를 구하는 것이 오늘 포스팅의 목적이다.

 

이중적분(Double integral)

이중적분(Double integral)은 일변수함수의 정적분의 아이디어를 이변수함수로 확장하여 평면의 일부인 면 위에서 적분하는 것이다. 이중적분의 정의는 다음과 같다.

 

만약 x, y의 범위가 각각 [2, 4], [4, 8]이라고 가정한다면, △Bij는 전체넓이(4)를 N개의 조각만큼 나눈 면적으로, 4/N이 되고, Pij는 각 조각의 중심의 좌표이다.

 

푸비니(Fubini) 정리

이중적분을 위와 같이 하나하나 극한을 이용하여 계산하는 것은 너무 번거롭다. 이중적분을 변수 하나씩 적분하는 소위 반복적분(interated integral)을 통해 계산할 수 있을까? 푸비니의 정리를 이용하면 된다. 푸비니의 정리 정의는 다음과 같다.

 

 

 

위 정의는 아래와 같이 표현될 수 있다.

 

 

 

이는 입체를 xz평면과 평행한 평면들로 잘게 나눈 조각의 부피를 합하여 부피를 구하는 것이다.

 

 

 

Q. 만약 y의 범위가 상수로 주어진 것이 아닌, x에 관한 함수에 대해서 주어진다면?

다음과 같은 함수f(x, y)가 있다고 가정해보자.

 

푸비니의 정리에 따르면 위 함수의 부피를 구하는 방법은 다음과 같다.'

 

 

 

 

Q. 이중적분으로만 우리는 입체의 부피를 완벽하게 구할 수 없다. 이중적분은 언제까지나 기둥에 대한 적분이기 때문이다. 다양한 입체의 부피를 완벽히 구하기 위해 우리는 어떤 방법을 써야 하는가?

푸비니의 정리는 이중적분에만 국한되는 정리가 아니다. 답은 간단하다. 삼중적분을 통해 구하면 된다. 다음은 삼중적분에 대한 푸비니의 정리이다.

 

D = [a, b] × [c, d] × [l, m]

 

 

연속함수의 삼중적분은 6가지 다른 순서의 반복적분으로 나타낼 수 있다.

 

 

 

정의역이 다음과 같을 때도 푸비니 정리를 사용할 수 있다.

 

 

 

Q. 삼중적분은 아직 물리적으로 감이 오지 않을 것이다. 삼중적분의 내용을 이끌어내기 위한 질문은 부피에 관한 것이었지만, 사실 함수 없이 정의역만으로도 부피는 얼마든지 구할 수 있다. f = 1일 때 적분한 값이 면적 또는 부피이기 때문이다. 그렇다면 삼중적분에서 함수가 하는 역할과 그 물리적 의미는 무엇일까?

# 면적

입체의 그림자의 크기를 면적이라 한다. 면적은 f(x, y) = 1로 두었을 때의 값이며, 면적과 부피를 통해 평균(average)를 구할 수 있다. 예를 들어, 이중적분에서 평균은 입체의 평균 높이를 의미한다.

 

#. 부피

삼중적분에서 f = 1로 두고 삼중적분한 값

 

A. 3차원의 물체를 설명함에 있어서 물체가 차지하는 공간(부피)만으로는 설명이 부족하다. 우리는 정의역과 함수를 통해 물체의 모든 상태를 설명하고 싶다. 이를테면, 질량, 운동방향, 모양변화같은 특성 말이다. 삼중적분을 통해서 물체의 질량을 나타낼 수 있다. 삼중적분이 물체의 총량 그 자체이기 때문이다. 예를 들어 f = c에서 c가 밀도라면, 이 삼중적분은 질량이다. 만약 c가 전하 밀도라면, 삼중적분은 전하의 총량을 나타낸다고 볼 수 있다.

 

즉, f는 정의역 D 내에서 f가 어떻게 분포해있는지를 나타내는 물리적 의미를 가진다. 만약 f = x라면, 각 위치 x, y, z에 대해 x가 가중치로 작용하여 전체 부피에 대한 x 좌표의 기여도를 계산하는 것으로 볼 수 있다. 이러한 발상을 통해 우리는 전체 부피의 질량중심(center of mass)를 구할 수 있다.

 

 

질량중심(center of mass)

정의역 D에 대해 밀도함수가 p로 주어질 때, 질량중심은 다음과 같다.