연쇄법칙과 음함수 정리(Chain Rule and Implicit Function Theorem)

연쇄법칙과 음함수 정리(Chain Rule and Implicit Function Theorem)

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다변수 함수가 있다. 이 함수의 한 점으로 접근하는 방법에 대해 우리는 방향미분을 통해 배웠다.

2024.08.15 - [Mathematics/Calculus] - 방향미분(Directional derivative)

방향미분(Directional derivative)

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Intro

방향미분에서는 방향벡터와 기울기벡터를 내적 하는 방법으로 특정 방향으로의 도함수를 구할 수 있었다. 하지만, 우리는 오직 직선 방향으로의 도함수만 구할 수 있었다. 만약 곡선을 따르면서 특정 점으로 다가가는 점의 순간변화율을 구할 수 있을까? 이 문제를 해결해 주는 것이 합성함수 미분법이다.

 

합성함수 미분법은 말 그대로 합성함수를 미분하는 것이다. 곡선을 따라가며 특정한 점에 다가가는 점의 순간변화율을 구하는 것과 합성함수 미분과 어떤 관련이 있을지 의문이 생길지도 모르겠지만, 조금만 생각해 보면 쉽게 이해가 갈 것이다.

 

만약 점 T가 특정 함수 F에 다가갈 때, 특정 곡선(함수) G의 경로만을 따라가야 한다면 시간에 따라 변하는 점 T의 위치를 곡선의 함수 G(T)로 나타낼 수 있고, 이 함수를 점이 다가가는 특정 함수 F의 정의역에 대입하면(F(G(T))), 시간에 따라 곡선의 경로를 따라가는 점이 시간에 따라 어떻게 함수 위를 움직이는지 구할 수 있는 것이다!

 

이제 우리가 할 것은 F(G(T))를 T에 대해 미분하는 것이다. 그 방법을 설명하는 법칙이 연쇄법칙(Chain Rule)즉, 합성함수 미분법이다.

 

 

연쇄법칙(Chain rule)

함수 f(x, y)의 편미분이 모두 연속이고, 변수 x, y가 모든 t에서 미분가능하면, 다음과 같은 식이 성립한다.

 

연쇄법칙

위 식은 f(x, y)를 t라는 Path로 미분한 결과이다. 이때, 위 식을 x에 대한 Path로 미분하는 식으로 고치면, 음함수 정리의 유도에 대한 실마리가 제공된다. 음함수 정리란, 각 변수간의 관계를 정의하는 방법이다. 

 

이때, X(t) = (x(t), y(t))로 두고, t = t0에서 X = P라고 두자. 그러면 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

음함수 정리(Implicit Function Theorem)

음함수 정리는 등위선의 접선의 기울기와 기울기벡터의 기울기 사이의 관계에 관한 정리이다. 이 정리가 유용한 이유는 임의의 함수의 등위면에서의 기울기를 구할 때, 계산을 매우 간단하게 만들어주기 때문이다. 정리는 다음과 같다.

 

음함수 정리 Implicit Function Theorem

미분가능한 함수 f의 등위선 f(x, y) = c 위의 한 점 P = (x, y)에서 P를 포함하는 원판에서 다음 등식이 성립한다.

 

이때 분모는 0이 되면 안 된다.

 

증명

 

음함수정리의 증명

 

f(X(x)) = c인 상수함수이므로 위 식의 결과는 0이다. 따라서 

 

이고, 위 식을 풀어주면 음함수 정리가 나온다. 

 

삼변수 음함수 정리

만약 위에 경우처럼 이변수가 아닌, 삼변수라면 어떻게 음함수정리를 사용하면 좋을까? 아마 다들 느낌으로 유추했을 것이라 생각한다. 결과는 다음과 같다.

 

삼변수함수 w의 한 등위면에서 z가 x와 y의 함수로서 미분가능하면, 다음의 식이 성립한다.

 

삼변수함수의 음함수 정리

 

증명은 이변수와 같으니 각자 해보는 걸로 하자.

 

Exercise

합성함수 미분법과 음함수 정리에 관한 예제를 풀도록 하겠다. 사실 이것 자체는 미분의 방법이라, 나중에 나올 정리들의 기초가 되기 때문에 연습문제라고 해도 그냥 계산 문제이다. 그래서 지루할 수도 있겠지만, 그래도 풀어보도록 하겠다.

exercise 1

 

일 때, f(x, y, z)의 등위면 중 점 P를 지나는 접평면의 식을 구하고, P에서의 범선의 매개변수식을 구하여라.

 

풀이은 다음과 같다.

이해가 잘 안 된다면 아마 접평면의 개념을 잊었기 때문이 아닐까 싶다.

2024.08.15 - [Mathematics/Calculus] - 기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

 

법 선벡터에 대해 알아야 할 중요한 점은 기울기벡터와 법 선벡터는 평행하다는 점이다. 이에 대해서는 위 포스팅에서 다뤘다. 해설은 다음과 같다.

법선벡터 구하기

 

이로써 여러분은 임의의 곡선의 경로를 따라 함수를 지나는 점의 순간변화율을 구할 수 있게 되었다. 짝. 짝. 짝. 축하한다.