Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

 

System identification

Impulsive Signal

임펄스 신호는 시스템의 특성을 파악하기 위해 사용한다.

 

임펄스 신호는 0인 위치에서 함숫값이 무한대이며, 0이 아닌 모든 구간에서 함숫값은 0이다. 함숫값이 매우 특이하기는 하나, 함수가 맞기는 하다.

 

 

Definition of Impulse Delta Signal

• Impulse Delta Signal은 특이함수(Singular function : 함숫값이 얼만지 정해지지 않아 time structure이 없는 함수)이다.
• t = 0일때를 제외하고는 함숫값이 모두 0이고, t = 0일 때, 함숫값은 ∞ 과 같다.
• The integral of the impulse delta signal is well-defined

integral of Impulse delta signal

• 또한 임펄스 델타 신호는 우함수(Even function)이다.

 

 

Approximation of Impulse Delta Signal

임펄스 델타 신호는 특이함수이기 때문에 이것을 그대로 표현하는 것은 현실에서 불가능하다. 우리는 이 신호를 다른 모양으로 근사하는 방법으로 이 신호를 이용할 수 있다. 보통 넓이가 1인 사각형의 넓이를 유지하면서 가로길이를 줄이는 방향으로 신호를 근사하지만, 우함수라는 조건만을 유지한다면 사각형이든, 삼각형이든 상관없다.

 

예를 하나 들어보면 위와 같은 신호가 존재한다고 했을 때, 위 신호에 타우를 나눠준다고 한다면 위 신호의 넓이는 1이 될 것이다. 그 상태에서 타우를 0으로 보내는 것이다. 이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

임펄스 함수의 근사

 

 

 

크로네컬델타(Kronecker delta) 함수와 디렉델타(Dirac delta) 함수

임펄스 함수는 시간 도메인 안에서 2가지로 분류된다. CT도메인에서는 디렉델타 함수이고, DT도메인에서는 크로네컬델타 함수이다. DT도메인에서는 늘 그렇듯이, 그로네컬델타 함수역시 대괄호로 Argument를 감싸는 형태이다.

Kronecher delta

크로네컬델타 함수는 위 그림과 같다. 이전에 알고 있었던 임펄스 델타 함수와는 조금 다른 형태이다. 특히, k = 0일떄 함숫값이 1이 된다는 것이 그렇다. 그렇다면 왜 크로네컬델타 함수는 0에서 함숫값이 무한대가 아니라 1일까?

 

답은 적분에 있다.

 

DT신호는 CT신호의 Sampling을 통해 만들 수 있다. 

2024.07.29 - [Engineering/Linear System and Signal] - CT신호와 DT신호

CT신호와 DT신호

 

그러나, Sampling을 하는 과정에서 적분효과가 개입하여 임펄스델타의 적분값인 1만 남게되는 것이다. 따라서 엄밀하게 따지면, 크로네컬 델타 역시 0에서 함숫값이 무한대가 되어야하는 것이 맞지만, 적분효과의 개입을 고려하여 그냥 0에서의 함숫값을 1이라고 보는 것이다.

 

Unit Doublet

우리는 임펄스델타 시그널을 적분했을 때 1이 된다는 것을 안다. 그렇다면 만약 임펄스델타 시그널을 미분했을 때는 함수가 어떻게 나올까?

 

우선 임펄스델타 함수를 미분하기 위해 근사한 함수를 미분하는 방법을 사용한다. 과정은 다음과 같다.

Unit Doublet Signal

 

이때, t축을 기준으로 위아래로 2개의 임펄스 신호가 나오게 되는데, 그 함숫값은 각각 기존의 임펄스델타 신호의 0에서 함숫값의 제곱과 같다. 즉 무한대의 제곱인 셈이다. (무한대와 무한대의 제곱은 큰 차이가 있다.)

 

위 신호들의 적분관계에 관한 포스팅을 참고하면 좋을 듯하다.

2024.08.04 - [Engineering/Linear System and Signal] - 신호들의 적분관계(참고)

신호들의 적분관계(참고)

 

이를 실제로 Matlab시뮬레이션한 포스팅도 있다.

2024.08.16 - [Engineering/Matlab Simulation] - Approximation of Impulse Delta Signal

Approximation of Impulse Delta Signal