신호들의 적분관계(참고)

신호들의 적분관계(참고)

삼각함수를 적분하기 위해 우리는 미리 코사인과 사인의 관계를 이해하고 있듯이, 신호들의 적분관계를 알기 위해서 우리는 신호들의 특성을 이해해야 한다. 일전에 신호들에 대해 소개한 바가 있으므로, 이번 글에서는 신호들의 적분관계들을 정리해보도록 하겠다.

 

아래 포스팅을 먼저 읽으면 이해하는데 도움이 될 것이다.

2024.08.04 - [Engineering/Linear System and Signal] - Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

 

미분관계

제일 먼저 이야기해야 할 관계는 Ramp Signal과 Step Signal의 관계이다.

 

Unit Ramp Signal

 

- Relationships With Unit Step Signal

Relationships whith unit step signal

여기서 주의해야 할 것은 t = 0에서는 위 관계가 성립되지 않는다는 것이다. (t = 0인 지점에서 Ramp Signal이 미분가능하지 않기 때문이다.)

 

다음으로는 자연스럽게 Step Signal과 Impulsive Signal의 관계가 중요해진다. 하지만, 나는 이것을 적분과 함께 이야기하도록 하겠다.

 

적분관계

방금 전에 다뤘던 Ramp Signal과 Unit Step Signal의 관계를 적분으로 나타내면 

이러한 수식으로 나타낼 수 있고 이것을 꽤나 직관적이고 명백하다. 그러나 이전에 t = 0일 때 다음 관계가 성립하지 않는다고 언급하였다.

 

Q. 그렇다면 Unit Step Signal은 t = 0일때 어떻게 정의할까?

 

이것에 대한 대답을 하기 위해서는 Unit Step Signal을 미분했을 때의 함수인 Impulsive Signal과의 관계를 살펴보아야 한다. 위에 올려놓은 포스팅에서 Impulsive Signal을 다루면서 이 신호가 우함수임을 강조하였다. 우함수이기 때문에 Impulsive함수를 t가 -1과 0사이의 구간에서 적분을 하면 그 값은 0.5가 될 것이며, 0부터 자연수 구간에서도 그 값은 0.5가 될 것이다. 따라서 Unit Step Signal이 Impulsive Signal간의 관계를 유지하기 위해서 t = 0주변의 함숫값을 올바르게 하는 것이 중요하다. 즉, Unit Step Signal은 Impulsive Signal간의 관계를 유지하기 위해 t = -0일때는 0, t = 0일때는 0.5, t = +0일때는 1이 되어야 한다. 이렇게 정의된 Unit Step Signal을 Hiviside Signal이라고 한다.

Hiviside Signal

따라서 다음 수식이 성립됨을 보일 수 있다.

 

추가적으로, 합성곱을 이용한 Property들이 존재하는데 이에 관한 포스팅을 아래 올려놓도록 하겠다.

---

2024.08.13 - [Engineering/Linear System and Signal] - [선형시스템과 신호] 합성곱(Convolution); Properties

[선형시스템과 신호] 합성곱(Convolution); Properties

---