오일러 공식[Euler Formula]

오일러 공식[Euler Formula]

모든 Exponential function은 Sinusoidal function으로 분해할 수 있다. 이러한 특성으로 인해 푸리에 변환에서 Exponential function은 기저함수(Basis function)으로 기능하기도 한다. 오늘은 Exponential function을 삼각함수꼴로 변환하는 오일러 공식을 유도할 것이다. 또한 이 공식이 수학적으로, 물리적으로 어떠한 의미를 지니는지 각각 파헤쳐보는 시간을 갖도록 하겠다.

 

 

먼저 테일러 급수에 대해 공부하는 것이 이해하는 데에 도움이 될 것이다.

2024.08.02 - [Mathematics/Calculus] - 테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

 

테일러 급수에 의해 Exponential function은 다음과 같이 표현 가능하다.

 

Tylor series

 

위 공식에서 z에 jx값을 넣으면 다음과 같은 식이 성립한다.

 

 

그런데, 위 식에서 실수부는 cos(x)의 테일러 시리즈와 일치하고, 허수부는 sin(x)의 테일러 시리즈와 일치한다. 따라서 위 식을 간단히 

exp(jx) = cos(x) + j sin(x) 로 표현 가능하다. 또한 z에 jx대신 -jx를 넣으면, exp(jx) = cos(x) - j sin(x)가 된다.

위 두 식에서 지수함수를 소거하면 cos(x) = 0.5(exp(jx) + exp(-jx)) , sin(x) = -0.5j(exp(jx) - exp(-jx)) 두 식을 얻을 수 있고, 이를 통해 우리는 삼각함수를 지수함수 형태로 나타낼 수 있다. 직접 한번 계산해보기를 바란다.

 

exp(jx) = cos(x) + j sin(x)

 

위 식에서 x대신 원주율 pi를 넣으면 다음과 같은 아름다운 공식을 유도할 수 있다.

 

허수의 신비

 

흥미롭다. j라는 허수는 실제로 존재하지 않는 수로 우리는 알고 있었는데, 그 존재하지 않는 허수에 라디안값을 곱하고 자연상수의 지수에 대입하니 -1이 나왔다. 위 공식의 물리적 의미는 무엇일까? 

 

물리적 의미를 이해하기 위해서...

먼저 자연상수 e에 대한 고찰이 필요하다. 

 

자연상수의 정의

 

위 식은 자연상수의 정의이자 근사이다. n번의 사이클이 무한이 될 때까지 계산을 반복했을 때, e를 구할 수 있다. 만약 n값에 n대신에 N/z값을 넣었다고 생각해보자. 식은 다음과 같다.

 

 

 

위 식을 양변에 z만큼 제곱하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

 

아까의 과정과 똑같이 z에 jx를 대입한다. 슬슬 감이 올 것이다. 아까전의 exp(j pi)  = -1이라는 식을 물리적으로 근사하는 시뮬레이션을 돌리기 위해 e의 정의를 이용해서 근사할 수 있는 식의 형태로 변환하는 과정이다.

 

exp(jpi)의 근사

 

결과가 나왔다. 이제 이것을 시뮬레이션을 돌려서 -1이 나오는지 확인하는 일만 남았다.

 

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%Handong Global University
%------------------------------------------------
%Name:       Taesan Kim
%ID  :       22300203
%Create:     2024.08.12
%Modifire:   2024.08.12
%------------------------------------------------
%Simulation of Exponential function approximation
%================================================

clc; clear all; close all;

N = 0 : 1e-1 : 100.0;                % N 값의 범위 설정
f = (1 + 1j*pi./N).^N;              % 복소수 신호 계산

realPart = real(f);                 % 실수부 추출
imagPart = imag(f);                 % 허수부 추출

figure; hold on;
plot(realPart, imagPart);           % 실수부 대 허수부 그래프
title('Simulation of Exponential function');
xlabel('Real Part');
ylabel('Imaginary Part');

 

다음은 Matlab코드이다. 결과는 다음과 같다.

 

Matlab simulation of exponential function

위 결과와 같이 지수함수가 N이 커질수록 -1에 근사하는 것을 알 수 있다. 

 

수학적 의미를 이해하기 위해서...

이제까지 물리적 의미를 보았으니, 수학적으로 이것이 어떤 의미를 지니는지 알아볼 차례이다.

pi실수계와 허수계

위 그림을 보면 느낌이 올 것이다. 지수부에 j가 곱해졌을 때는 단순히 size의 차원을 넘어서 회전의 차원으로 변환된다. 즉, Rotate 차원이 추가된 것이다. 크기가 같아도 회전한 각도가 다르다면 그것은 이 차원에서 엄연히 다른 값이 된다. x는 회전한 각도(rad)값을 의미한다. 

 

예시로 돌아가보자. x가 pi라면 180도 회전할 것이므로, 좌표는 정확히 -1에 머무른다. 따라서 exp(jx) = -1이 되는 것이다.