편미분(partial derivative)과 편도함수

편미분(partial derivative)과 편도함수

 

다변수의 미분을 먼저 공부하면 이해하는 데에 도움이 될 것이다.

2024.08.11 - [Mathematics/Calculus] - 다변수 함수

다변수 함수

 

정의

함수 z = f(x, y)의 y를 고정시키고 x의 함수로 보아 x로 미분하는 것을 x로 편미분한다고 한다. 점 (x, y)에서 편미분한 결과를 표시하면 다음과 같다.

편미분의 표현

 

참고로 x에 대한 편미분 혹은 편도함수를 표현하는 다른 방법도 있다.

 

편미분의 다양한 표현들

 

 

편미분의 표현

만약에 변수가 x,y,z 3개 뿐이라면 위와 같이 간단하게 표현이 가능하다. 그러나, 변수가 무수히 많을 경우엔 변수를 같은 알파벳으로 하고, 옆에 숫자를 붙여서 표현할 것이다.(x0, x1, x2 ...) 이런 경우에 편미분을 효율적으로 표현하는 방법이 있다. 바로 Derivative의 앞글자를 따 D(number)로 표현하는 방식이다. 보통 수학에서 이 방법이 많이 쓰인다. 예를 하나 들어보자.

 

예제 1)

다음 함수의 편도함수들을 구하여라.

 

 

 

위 함수에서 편도함수들을 구하라는 말은 각 변수에 대해서 편미분한 함수를 각각 구하라는 것이다. 답은 다음과 같다.

 

에제 답

 

느낌이 오는가? 좋다. 그렇다면 2계 편미분은 어떻게 나타낼까? n번 편미분은 어떻게 나타낼까?

 

2계 편미분(second partial derivative ; partial derivative of the second order)

 

함수 f(x, y)의 편도함수를 다시 편미분한 것을 f의 2계 편미분이라고 하고 아래의 기호들로 나타낸다.

 

 

2계 편미분

 

만약 f가 n변수함수일 경우엔 다음과 같이 나타낸다.

 

n변수 함수의 2계 편미분

 

 

오일러(Euler)의 정리

2계 도함수와 관련해서 중요한 정리를 소개하도록 하겠다. f의 모든 편도함수가 연속일 때, 오일러 정리에 의하면 다음 등식이 성립한다.

 

오일러의 정리

 

아마 고등학교 미적분을 공부했다면 익숙하게 다가올 것이다. 이에 관해 증명하는 문제가 있지만, 여기서는 다루지 않을 것이다.

 

편미분방정식(partial differential equations)

정의에서 짐작이 갔겠지만, 방정식에 편미분이 포함되어 있으면 편미분 방정식이라고 한다. 1차원 파동방정식, 1차원 열방정식, 2차원 라플라스 방정식, 3차원 라플라스 방정식 등등 대표적인 편미분 방정식이 존재한다. 하나씩 짚어보도록 하자.

 

1. 1차원 파동방정식

1차원 파동방정식은 음향학, 해양학, 전파 등등 파동과 연관된 모든 분야에서 수학적 모델링을 하는데 널리 사용되고 있다. 1차원 파동방정식의 정의는 다음과 같다.

 

1차원 파동방정식

 

c는 파동의 속도이고, t는 시간, x는 위치, f는 위치 x에서 시간 t에 따른 변위를 의미한다. 경계조건과 초기 조건만 잘 설정한다면 위 방정식을 통해 삼각함수로 이루어진 f를 구할 수 있다.

 

2. 1차원 열방정식

1차원 열방정식은 열의 전도 과정을 모델링하는 방정식이다. 온도가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 설명한다. 정의는 다음과 같다.

 

1차원 열방정식

 

상수 a는 열확산 계수이며, f는 위치 x에서 시간 t에 따른 온도이다. 자세한 사항은 열전달 과목에서 배우기를 바란다.

 

 

3. 라플라스 방정식

2차원 라플라스 방정식은 정적이고 시간에 의존하지 않는 상태에서의 다양한 물리적 수학적 시스템을 모델링하는 데 널리 사용된다. 전기장 내의 전위 분포를 찾는 데 사용되기도 하며, 도체나 전극 주변의 전기장을 계산할 때 사용된다. 이 외에도 중력장 계산과 유체역학, 열전도 문제에도 사용된다. 정의는 다음과 같다.

 

2차원 라플라스 정리

 

3차원 라플라스 방정식은 기존의 2차원 평면에 대한 분석에서 더 나아가 3차원 공간 내의 수학적 모델링에 사용된다. 정의는 다음과 같다.

 

3차원 라플라스 정리

 

연습문제

아마 개념은 모두 이해했을거라 예상한다. 계산 연습을 하고 싶은 분들을 위해 간단한 증명 문제를 올려놓도록 하겠다.

 

1. 다음 두 함수가 2차원 라플라스 방정식을 만족함을 보여라.

연습문제-1

 

2. 다음 함수가 3차원 라플라스 방정식을 만족함을 보여라.

연습문제-2

 

3. 다음 두 함수가 1차원 파동방정식을 만족함을 보여라.

연습문제-3

 

 

무엇이든지 훌륭하고 참된 일을 한다면,
인생은 참으로 아름다워질 것이다!