다변수 함수

다변수 함수(multivariable function)

다변수 함수(multivariable function)의 정의는 다음과 같다.

 

R^n의 부분집합 U에 대해 f : U → R이라고 할 때, U의 각 점 X = (x1, x2, x3, ... xn)에 대하여 f(X) = f(x1, .. xn)

이때 함수 f를 n변수함수라 하고, n≥2이면 다변수 함수라 한다.

 

그래프(graph)

clc; clear all; close all;

X = struct('start', 0, ...
           'Xs', 1e-3, ...
           'stop', 10.0);
X.time = X.start : X.Xs : X.stop;
x = X.time;

Y = struct('start', 0, ...
           'Ys', 1e-3, ...
           'stop', 10.0);
Y.time = Y.start : Y.Ys : Y.stop;
y = Y.time;

[X_mesh, Y_mesh] = meshgrid(x, y); 
%x와 y는 벡터이다. surf함수는 xyz모두 행렬이 되여야 하므로
% x와 y에 대한 행렬로 변환시켜야 한다.

f = X_mesh^2 + Y_mesh^2;

surf(X_mesh, Y_mesh, f); 
%3차원 곡면 플롯.
%Z행렬에는X-Y평면의 그리드 위 높이로 플로팅.

xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('f(X,Y)');
title('3D Surface plot of f(X,Y) = X^2 + Y^2');

위 매트랩 코드는 f = x^2 + y^2인 다변수함수를 그려주는 코드이다.

 

등위면

다변수 함수에서 정의한 대로, 다변수함수의 정의역은 R^n의 부분집합 U이다. 만약 실수 c에 대하여 c의 f에대한 역상(inverse image)를 상상한다고 해보자. 그 역상을 등위면이라 한다. 

(Inverse) f(c) = {X∈U | f(X) = c}

 

극한(Limit)

표현은 다음과 같다.

(X→P)lim f(X) = L

X가 P에 가까우면 f(X)가 L에 아주 가깝다

 

가깝다라는 표현은 애매하다. 수학에서는 이를 정확하게 정의하기 위해 임의의 양수 a와 b를 가정한다. 만약  

0 < |X - P| < a인 모든 X에 대하여 |f(X) - L| < b이면 극한이 성립된다.

 

연속

위 극한의 예시에서 만약 극한값L이 함숫값 f(P)와 같다면 연속이라 한다.

 

연속함수의 성질

정리1 : 연속함수의 합과 곱, 합성 모두 연속함수이다.

정리 1에 의해 다항함수(Polynomial function)가 연속임을 알 수 있다.

 

예제

극한값이 존재하는지 구하는 문제이다.

(1)번 힌트 : x에 먼저 0을 넣고 y에 0을 넣었을 때와, y에 0을 넣었을 때와 x에 0을 넣었을 때와 같아야 한다.

(2)번 힌트 : y = -x를 대입해보아라.(분자를 살리고, 분모가 없어지는지 확인)

 

아래 예시는 연속이다.