기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

고등학교 수학의 미분계수를 생각해보자. 우리는 항상 실수형태의 수를 다뤘다. 그러나, 다변수함수의 미분계수는 더이상 실수가 아니고 벡터이다. 이는 머릿속으로도 충분히 상상이 가능한데, 만약 함수를 각 변수(좌표축)에 대한 변화량을 구하려고 할 때, 각 방향마다의 변화량을 구하게 되므로, 미분계수 하나마다 벡터값을 가지게 되는 것이다.

 

구체적인 내용에 들어가기에 앞서, 편미분에 대해 복습하는 것이 좋을 듯 싶다.

2024.08.14 - [Mathematics/Calculus] - 편미분(partial derivative)과 편도함수

편미분(partial derivative)과 편도함수

 

 

기울기벡터(gradient)

함수 f의 점 P에서 모든 편미분이 존재할 때, 이 편미분을 성분으로 하는 벡터를 기울기벡터라고 한다. 표시는 다음과 같다.

 

definition of gradient

 

이를 "점 P에서 f의 미분계수"라고 한다.

 

물리적으로 다음과 같다.

기울기벡터

위 그림에서 보면 알 수 있듯이, 기울기벡터란, 함수에서 수직으로 나오는 Nomal Vector이다. 또한, 기울기벡터는 함수가 가장 빠르게 변하는 방향이다. 시스템적으로는, 입력값이 스칼라일때, 벡터값을 출력값으로 가지는 하나의 시스템이라고 할 수 있다.

 

기울기벡터가 낯설게 느껴질지도 모르겠다. 편미분을 성분으로 하는 벡터. 왜 하필 벡터이며, 왜 편미분을 성분으로 하는 벡터를 정의했을까? 그것은 접평면을 정의하기 위해서다. 만약 곡면의 특정한 좌표에서 접평면을 구하려고 할 때, 그것을 어떻게 표현하는 것이 좋을까? 우선 특정한 좌표에서 값이 곡면과 한 점에서 만나도록 해야 한다. 그러기 위해서 접평면은 각각의 변수에 대응하는 모든 미분계수가 곡면의 미분계수와 같아야 한다. 이 미분계수들을 모아주는 벡터가 기울기벡터인 셈이다. 직관적인 이해를 돕기 위해 다음 정의를 보자.

 

접평면(tangent plane)

 

z = f(x, y)의 편도함수가 모두 연속함수일 때, 이 함수의 그래프 한 점 (x0, y0, z0)에서의 접평면은 다음의 식으로 정의된다.

(참고로 z0 = f(x0, y0)이다. )

 

접평면의 정의

 

접평면의 정의

 

법선벡터(normal vector)

위 식에서 법선벡터를 어떻게 구할지 생각해보자. 위 접평면에서 기울기벡터에 대해 잘 생각해보면 특정한 점 z0에서 각 좌표축에 대해 편미분한 값들을 성분으로 하는 벡터임을 알 수 있다. 사실상 기울기벡터만으로 접평면을 특정할 수 있는 것이다. 만약 접평면을 수직으로 나오는 법선벡터를 구하고 싶다고 한다면 기울기벡터를 그대로 놓고 차원을 하나 증가시킨 다음 -1(단순히 법선 벡터의 방향이 바뀌었음을 나타낸다. 이는 물리적 조건에 따라 1을 넣기도 한다.)을 넣으면 된다.  법선벡터의 정의는 다음과 같다.

 

 

법선벡터(normal vector)

 

 

 

1차 근사식(linear approximation)

 

변수가 3개 이상일 경우를 정의하기 위해 위 정의를 일반화시키면 다음과 같다.

 

초평면의 정의

 

이때 접평면은 실제로 평면이 아니며, 초평면이라 한다.

 

위 식에서 z = f(X)이므로 f(P)를 좌변에 옮기면 다음과 같다.

 

 

위 식에서 알 수 있듯이 우변은 좌변의 일차근사식이다. 좌변이 함수의 실제 변화량이므로, 우변은 함수의 실제 변화량의 일차근사식임을 알 수 있다. 일차근사식은 앞에 d를 붙여서 표현하므로 위 식을 다시 표현하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

식을 잘 이해했다면 적용하는 것을 쉬울 것이다. 연습문제를 풀도록 하겠다.

 

 

Exercise

a

함수 a와 점 P = (2, 0, 0)에 대하여 점 P에서 기울기벡터와 df, f(2.1, 0.2, -0.3) - f(2, 0, 0)의 근삿값을 구하여라.

 

풀이

직관적인 이해를 위해 풀이와 관련해서 한가지 첨언하자면, df는 1차근사식과 원래의 함수 사이의 미세한 차이를 나타낸다. df에 함숫값을 더하면, 1차근사식이 된다.

마치며...

우리는 오늘 좌표축축에 따라 직선으로 움직이는 점이 접평면 위의 좌표에 대해 움직이는 순간변화율을 구할 수 있게 되었다. 특정 방향으로 움직이는 점 또는 특정 곡선에 따라 움직이는 점이 접평면 위의 좌표에 대해 움직이는 순간변화율을 알고 싶다면 다음 포스팅을 참고하길 바란다.

 

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