방향미분(Directional derivative)

방향미분(Directional derivative)

 

이전 포스팅에서 다루었던 편미분은 좌표축과 나란한 방향의 함수의 변화율이었다. 만약 다른 방향 즉, 특정한 직선 방향으로의 변화율도 구할 수 있을까? 방향미분은 그것을 가능하게 해준다.

 

우선 편미분을 복습하고 오기를 바란다.

2024.08.15 - [Mathematics/Calculus] - 기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

기울기벡터와 접평면(Gradient & Tangent plane)

 

방향미분(directional derivative)

주어진 방향 v(v는 단위벡터)로의 순간변화율의 정의는 다음과 같다. 

 

방향미분의 정의

 

어째 고등학교때의 미분계수와 모양(Shape ㅋ)이 흡사하다. 사실 고등학교때의 미분은 방향이 정해져있었기 때문에 굳이 v를 곱해줄 필요가 없었던 것이다. 원래 공식은 위와 같고, 이것을 2차원에 적용시키니 v는 자연스레 1이 되고, 우리가 생각했던 미분계수의 정의가 나올 수 있었던 것이다. 즉, 모양은 조금 다르지만 정의는 동일하다.

 

물리적으로 방향미분은 어떤 의미를 가질까?

위와 같은 그림이 있다고 하자. 기울기벡터 포스팅에서 이미 언급했듯이, 기울기벡터는 가장 빠르게 변화하는 방향이다. 우리가 선택한 임의의 벡터는 가장 빨리 변하는 방향은 기울기벡터와 같은 방향이며, 그 외의 방향은 무조건 기울기벡터보다 느리게 변화하는 방향이다. 우리는 기존의 기울기벡터에서 우리가 정한 방향으로 변화하는 성분을 구하고 싶은 것이다. 즉, 기울기벡터가 임의의 벡터에 대해 정사영된 길이를 구하고 싶은 것이다. 그래서 내적을 한다. 또한 내적을 할 때, 임의의 벡터는 내적된 값에 영향을 주면 안되므로, 임의의 벡터는 크기가 1인 Unit Vector이라는 조건을 가진다.

미분가능성

다변수함수의 미분가능성을 확인하는 것은 방향미분의 값을 구하는데 유용하게 사용된다. 빠른 이해를 위해 본론으로 들어가도록 하겠다. 다음은 미분가능의 정의이다.

 

미분가능성

 

만약 위 식을 만족한다면 함수 f는 미분가능하다는 결과를 얻을 수 있고, 아래와 같은 정리가 가능하다.

 

정리

 

결론

일변수함수의 경우 미분가능한 점 주변에서 함수의 그래프와 비슷한 직선을 찾을 수 있었고 이것을 접선이라고 불렀다. 이변수함수의 그래프를 미분가능한 점 주변에서 관찰하면 어떤 평면에 가깝다고 할 수 있을까?

 

만약 f가 미분가능하다면 그 미분가능한 특정한 지점을 지나는 무수히 많은 평면에서 우리가 원하는 특정한 기울기벡터를 갖는 접평면이 존재한다는 것이다.

 

Exercise

a

식 a의 점 P = (2, 0, 0)에서 벡터 v = (1, 1, 1) 방향으로의 방향미분을 구하고 함숫값의 변화가 없는 방향을 구하여라.

 

1. f의 미분가능성을 확인한다.

2. 벡터 v를 단위벡터로 바꾸어주어야 한다.

3. 점 P에서의 f의 기울기벡터를 구하고 단위벡터와 내적을 하여 v방향으로의 방향미분을 구한다.

4. 함숫값의 변화가 없는 방향은 과연 어떤 방향일까??? (Hint. 기울기벡터는 변화하는 모든 방향의 집합인 셈이다.)

 

풀이

 

4개의 포스팅에 걸쳐 다변수의 미분에 대해 다뤄봤다. 모두들 수고가 많다.

 

망각의 은사를 통해 어떤 고통도 잊을 수 있다.
옛날의 낡은 슬픔은 점차 고요한 부드러운 기쁨 속으로 변해 간다는 바로 이것이 인생의 위대한 신비이다.