테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

테일러 급수와 테일러 정리(Taylor Series)

 

 

테일러 급수란, 한 점 C부근에서 f(x)와 비슷한 함숫값을 구하기 위한 무한 차수 근사식과 같다.

 

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Q. 우리는 e^(0.1)값을 어떻게 계산할 수 있을까?

Exponential 0.1x

 

Q. X=0주변에서 e^x와 비슷한 함숫값을 갖는 다항식을 어떻게 찾을까?

이 질문은 "비선형 함수를 어떻게 선형적으로 나타낼 것인가?" 하는 질문과 밀접한 관련이 있으며, 제어공학에서 비선형 신호를 선형 신호로 변환하여 선형시스템에서 신호를 처리하므로, 제어공학적 관점에서도 매우 중요하다.

 

첫번째 질문에 대한 답은 간단하다. 미분을 이용하는 것이다.

1계 미분을 통해 x=0일 때, e^x접선은 x+1이고, 따라서 e^(0.1) ≒ 1 + 0.1 = 1.1로 근사가 가능하다.

 

 

Q. 그렇다면 오차 e^0.1 - 1.1은 얼마나 될까?

이 질문에 대답하기 위해서 우리는 테일러 급수를 이해해야 한다.

 

 

테일러 급수(Taylor Series)와 매클로린 급수

테일러 급수란, 한 점 C부근에서 f(x)와 비슷한 함숫값을 구하기 위한 무한 차수 근사식과 같다.

: 이때, C는 Center이고, Center이 0이면 매클로린 급수이다.

 

테일러 급수의 이해

 

테일러 급수의 정의

테일러 급수를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

이때 주의해야 할 것은 위 식은 X=a 근처에서만 성립하는 식이며 a에 대한 n차 근사식이라고 표현한다는 점이다.

즉, X=a점에서 멀어질수록 오차가 커진다. 이때 a를 center이라고 한다. 오차범위의 중심에 위치해있기 때문인 듯 싶다..

 

이제 우리는 테일러 급수를 이용하여 f의 n차 근사식을 구할 수 있다!

 

 

테일러 정리(Taylor's Theorem)

테일러 정리의 정의

테일러 정리의 정의는 다음과 같다. 테일러 급수에 오차를 구하는 항(Remainder term) 하나가 더 붙은 형태이다. 이때 X스타는 a와 x사이의 범위, 즉 오차범위를 의미한다. 이 추가적인 장치를 통해 오차를 짐작할 수 있다.

테일러 전개식 = 테일러 다항식 + Remainder term

 

예제

예제 1

 

예제 2

 

 

예제 3

예제 4

 

예제 5

 

테일러 급수는 오일러 공식을 유도하는데 쓰이곤 한다. 관련 포스팅을 올려놓았다.

2024.08.12 - [Engineering/Linear System and Signal] - 오일러 공식[Euler Formula]

오일러 공식[Euler Formula]

 

마치며...

다변수함수의 테일러 정리를 후에 다루도록 하겠다. 많관부

2024.08.18 - [Mathematics/Calculus] - 테일러 정리(Taylor's theorem)

테일러 정리(Taylor's theorem)