비선형 시스템의 선형화(Linearization of Nonlinear system)

비선형 시스템의 선형화(Linearization of Nonlinear system)

 

Intro

비선형 시스템의 분석은 어떻게 이루어질까? 이전에 다뤘듯이 우리가 완벽히 분석할 수 있는 시스템은 LTI시스템이 유일하다.

2024.08.19 - [Engineering/Linear System and Signal] - 시스템(System)

시스템(System)

그렇다면 어떻게 선형이 아닌 시스템을 분석할 수 있을까? 우리는 비선형 시스템을 동작점(Operating point) 주변에서 선형 시스템으로 근사를 통해 비선형 시스템을 분석할 수 있다. 

 

Tracking, Regulation, Operating Point

 

비행기 제어

 

 

비선형 시스템의 분석에 앞서 기본적인 용어정리를 할 것이다. 항공기를 제어한다고 가정해보자. 그럼 크게 2가지 제어로 분류할 수 있다. y(t)가 항공기의 출력 고도를 의미할 때, y(t)가 0 또는 상수를 유지하도록 하는 regulation, y(t)가 r(t)꼴을 유지하도록 하는 traking 이렇게 2가지로 분류된다. regulation은 비행기가 고도를 유지하는 콘셉트이다.

 

비행기의 출력에 대해서는 다음과 같은 식이 성립한다.

 

 

위 식에서 좌변은 실제 출력값이다. 우변에서 y*는 출력의 목표가 되는 지점, 즉 평형(equilibrium) 또는 동작점(operating point)라고 한다. 모든 현실에서의 시스템은 오차를 동반하는 법이다. 이때 현실적 한계로 생기는 오차값을 섭동(perturbation)이라 한다. 좋은 제어기일수록 섭동은 0에 수렴한다. 위에는 출력값만 표현했지만, 입력값도 위 식과 같은 방식으로 표현한다. 

 

 

상태공간 함수

상태공간 함수는 다음과 같이 표현된다.

state-space function

 

문제는 f가 비선형 시스템이라는 것이다. 지금부터 f를 분석하도록 하겠다. 먼저 이해를 위해 간단한 예를 들어보겠다.

 

다음과 같은 비선형 시스템이 존재한다 가정하자. 위 식은 아래 식과 동치이다.

 

또한 operating point만 대입했을 때 아래 식과도 동치이다.

 

자 그럼 위 식을 정리해 보면 최종적으로 아래와 같은 식이 나온다. 

선형 시스템

 

비선형 시스템(선형성을 만족하지 않는 선형 함수)을 섭동에 대해 나타내었더니 선형 시스템으로 표현 가능하게 되었다!

 

결국 목적은 비선형 함수를 Operating Point에서 선형 함수로 근사한 다음, 선형 함수를 섭동에 대해 표현함으로써 선형성을 만족하는 시스템으로 표현하는 것이다.

 

테일러 정리

그러면 어떻게 비선형 함수를 선형 함수로 근사할까? 이것은 테일러 정리를 통해 해결 가능하다. 다변수함수의 테일러 정리에 관해서 포스팅을 올려놓았다.

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2024.08.18 - [Mathematics/Calculus] - 테일러 정리(Taylor's theorem)

테일러 정리(Taylor's theorem)

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테일러 정리를 통해 f(u, y)의 근사식을 표현하면 다음과 같다.

 

위 식은 f(u, y)의 1차 근사식이며, 뒤에 오차항이 붙은 형태이다. 이 오차항은 HOT(High Order Term)이라고도 한다. 참고로 이 값은 무시할 만큼 작기 때문에 1차 근사식까지만 계산에서 고려한다. 위 식은 다음과 같이 변환할 수 있다.

 

 

이때 위 식에 다음과 같은 식을 각각 대입하면 원하는 값을 얻을 수 있다.

상수를 미분하면 0이다.

 

위 식을 잘 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

 

f라는 시스템이 선형으로 근사되는 순간이다. 아름답지 않은가? 우리는 이것을 섭동항으로 기술된 선형 상미분방정식이라 한다.

 

마치며...

오늘은 상당히 재밌는 주제였다. 사실 내가 이번 연도에 배운 내용 중에 가장 흥미로운 내용이었다. 위 방법을 사용하여 진자의 운동을 Simulink를 통해 분석한 포스팅을 Matlab simulation 카테고리에 올려놓도록 하겠다. 후훗