합성곱(Convolution); Properties

합성곱(Convolution); Properties

오늘은 제어공학적 관점에서 합성곱(Convolution)의 정의와 그것으로부터 파생된 몇 가지의 Property들을 공부할 것이다.

 

Convolution

Definition of Convolution

 

위 식은 Convolution의 정의이다. 위 식만 보면 직관적으로 이해가 잘 가지 않는다. Convolution이 지니는 물리적 의미는 무엇인지 살펴보도록 하겠다.

 

먼저 Convolution은 식 그대로 해석하면 특정 지점 t에 대해서 두 함수 f, h를 서로 반대되는 방향으로 곱하여 적분한 값이다. 수학자들이 Convolution을 정의한 이유는 f라는 함수를 h라는 함수에 대해 표현하기 위해서이다. 예를 들어 h가 디랙델타 신호일 때, 각각을 f에 곱하여 더한 그래프는 f의 근사와 같다. 따라서 나중에 다룰 Time domain의 선형 시스템 분석에서 근본적인 역할을 한다는 점은 명확하다. 또한 Convolution은 선형 시스템의 출력과 연관이 있기 때문에 더욱 중요하다. 제어공학을 공부하다 보면 Convolution의 역할은 점점 확실해지고, 이것이 어떤 기능을 하는지는 명확해지지만, 여전히 Convolution을 어떻게 발명했는지는 미스터리다. 후에 다룰 푸리에 급수와 라플라스 정리에서 합성곱은 근본적인 역할을 하며, 이로 인해 합성곱을 처음 발전시킨 사람은 푸리에와 라플라스로 여겨진다. 이들은 상당한 천재임에 틀림없다.

 

---

Impulse Delta Signal 복습.

2024.08.04 - [Engineering/Linear System and Signal] - Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

Impulsive Signal, Kronecker Delta, Dirac Delta, Unit Doublet

---

 

Shifting Property(Comb)

shift는 채로 거르다라는 의미이고, Comb는 뽑아내다는 의미이다. 따라서 Shifting Property는 Impulse Delta Signal을 이용하여 특정 지점에서 f의 함숫값을 뽑아내는 역할을 한다.

 

Shifting Property

 

The effect of the impulse delta function in this signal is to take out(shift) a particular value of the function f(t) at t = t0

 

Convolution의 정의를 제대로 이해했다면 당연한 내용이다. 조금 더 직관적인 이해를 위해 그래프를 그리면 다음과 같다.

Graph of Comb property

Shifting Property를 수학적으로 증명한 식은 다음과 같다.

 

Proof of Shifting Property

 

Shifting Property

위에서는 t0에서 함수의 '한 지점'만 뽑아오는 과정이었다면 이제는 '함수 자체'를 t0만큼 보내는 과정이다. 우선 생각해보자. 어떻게 하면 함수 자체를 원하는 만큼 보낼 수 있을까? 우선 t에 대해 정의된 함수라 가정할 때, 보낸 함수도 t에 대해 정의되어야 한다. 아래 식을 보고 이해해 보자.

 

Shifting Property

convolve with time-shifted impulse signal = time shifting of the original signal

(often used to simplify the calculation of convolution)

 

이동시키기 원하는 함수를 특정 시간만큼 이동된 impulse 신호와 함께 합성곱을 하면 그 결과 원하는 함수만 impulse 신호가 Shifting 되었던 만큼 Shifting 되어 나온다.

 

위 식은 간단한 치환적분으로도 증명 가능하니 각자 해보는 걸로 하자.

 

 

Time Scaling Property

위 Comb Property에서 t앞에 어떤 값이 곱해져 있을 때를 생각하면 된다. 이때 t 앞에 곱해진 '어떤 값'이 시간을 Scaling 한다. 

Time Scaling Property

느낌적으로 알 수 있겠지만, Impulse 신호의 Argument가 0이 되도록 하는 t의 좌표 a/t0에서의 함숫값이 결과 중의 일부로 나올 것이다. 위 식의 답을 구하는 과정은 다음과 같다.

 

Proof of Time-Scaling Property

a의 부호에 따라 케이스를 2개로 분류한 이유는, 적분상수 식에서 t와 시그마의 관계식에 a가 관여하여 이로 인해 a의 부호가 적분상수 t의 부호에도 영향을 줄 것이기 때문이다. 위 증명에 따른 결론은 다음과 같다.

 

 

 

여기서 주목해야 할 점은 Time Scaling을 쓰지 않을 때, 즉 이전에 배웠던 Comb Property만 사용해서 위 식의 우변과 같은 결과를 얻기 위해서 a-0식을 a-1식으로 대체해야 한다는 점이다.

 

a-0

 

a-1

 

 

다음에 소개할 미분 특성의 이해를 돕기 위해 아래 포스팅을 올려놓았다.

 

 

---

2024.08.04 - [Engineering/Linear System and Signal] - 신호들의 적분관계(참고)

신호들의 적분관계(참고)

---

Derivative Property

결론부터...

 

Derivative Property

 

 

아마 이제 암기가 자동으로 될 것이다. 위 식을 유도하기 위해서는 디랙 델타(임펄시브 델타) 신호의 근사를 사용할 것이다.

 

* 참고로, 디랙 델타와 임펄시브 델타는 거의 같다고 볼 수 있지만, 글의 맥락에서 주로 임펄시브는 DT domain에서, 디랙 델타는 CT domain에서 등장한다.

 

유도한 식은 다음과 같다.

 

Proof of Derivative Property