동차해&특수해&일반해(Homogeneous solution&Particular solution&General solution)

동차해&특수해&일반해(Homogeneous solution&Particular solution&General solution)

일반해는 미래다. 특수해는 결과다. 동차해는 운명이다.

들어가며...

미래는 우리의 의지로 바꿀 수 있는 결과와 우리의 의지로도 바꿀 수 없는 운명의 조합이다. 이것은 Solution을 이해할 때 꽤 유용하다.

 

Homogeneous solution&Particular solution&Natural solution

동차해는 시스템의 입력이 없을 때, 시스템에 의해서만 결정되는 출력이다. 자연 응답(natural response)라고도 정의한다. 입력에 영향을 받지 않기 때문에 시스템의 하드웨어를 바꾸지 않는 이상 동차해를 바꾸는 것은 불가능하다. 그러나, 특수해는 입력에 의한 출력이다. 즉, 우리가 입력을 통해 특정 값으로 유도할 수 있는 응답이다. 특수해를 강제 응답(forced response)로 정의하기도 한다. 이러한 특수해와 동차해를 모두 합한 것이 일반해로, 시스템에서 출력되는 전체 응답이다. 이에 대한 시스템적인 해석은 아래 포스팅을 참조하면 좋을 듯 싶다.

https://taesan5435.tistory.com/entry/%EC%8B%9C%EC%8A%A4%ED%85%9C-%EC%9D%91%EB%8B%B5System-response0

시스템 응답(System response)

 

Trivial&Nontrivial Solution

앞서 이야기했던 Linear EQ이 Ax = 0의 형태를 지니면 동차(homogeneous)라 할 수 있다. 이 동차방정식은 x = 0을 항상 해로 가질 수 있다. 이때 x = 0을 자명해(trivial solution)이라 한다.

만약 동차방정식이 2개 이상의 해를 갖는다면 x = 0이외의 해를 갖는다. 이때 x=0을 제외한 다른 해를 비자명해(Nontrivial solution)이라 한다. 우리의 주목적은 Nontrivial solution을 찾는 것이다.

 

Parametric Vector Form&Free Variable

Ex)   10 x1 - 3 x2 - 2 x3 = 0 을 Parametric Vector Form으로 나타내어라.

Sol)

위 그림과 같이 표현된 형식이 Parametric Vector Form이다. 여기서 s와 t를 free variable이라 한다. free variable은 임의의 모든 수가 될 수 있으며, 따라서 su + tv는 span{u, v}라고 표현할 수 있다. free variable로 인해 해의 개수는 무한대가 된다. 따라서 Nontrivial Solution이 존재하게 되는 것이다.

Nonhomogeneous Solution

비동차(Nonhomogeneous) 방정식은 Ax = b인 형태로 우변에 0이 아닌 벡터가 있는 시스템이다.

Q. 우변이 0이 아닐 때는 어떻게 모든 해를 구할 수 있을까?

☞정답은 선형성에 있다.

 

T(aX + bY) = aT(X) + bT(Y) 를 만족하는 T를 선형성을 만족하는 변환이라고 한다.

 

A. 모든 선형변환은 선형성을 만족하는 변환이다. 따라서 우변을 0으로 두었을 때의 해(homogeneous solution)와 우변을 b로 두었을 때의 해(nonhomogeneous solution) 두 해를 합한 것이 비동차방정식의 해가 된다.

 

tv는 Ax=0의 homogeneous solution이고, p는 Ax=b의 particular solution이다.

 

위 그림에서 tv는 Ax = 0을 만족하는 homogeneous solution이다. Ax = 0을 만들어주는 벡터는 trivial solution을 가지므로 반드시 원점을 지나는 직선 형태로 표현된다. 만약 Ax = b를 만들어주는 벡터를 만들려면 기존의 homogeneous solution에 특수한 값을 더해서 Ax = b를 만족하도록 해야 한다. 이때 특수한 값을 p 즉, 특수해(Particular solution)이라고 한다. 따라서 Nonhomogeneous Solution의 일반해(General solution)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

W(General solution) = tv(homogeneous solution) + p(particular solution)

 

마치며...

일반해와 동차해는 선형 연립방정식의 해의 존재 가능성 측면에서 이해하면 훨씬 이해하기 수월하다. 이에 대한 정리는 아래 포스팅을 참조하면 도움이 될 것이다. 

2025.03.03 - [Mathematics/Linear Algebra] - 공간과 차원(Space&Dimension)

공간과 차원(Space&Dimension)