Linear Transformation; 선형변환의 정의

Linear Transformation; 선형변환의 정의

 

들어가며...

흔히 선형변환 T = Ax로 정의한다. 그렇다면 A는 어디서 왔고, T는 어디서 왔을까?

 

Linear Transformation T

크기(size)가 2×2인 단위행렬(identity matrix)을 가정한다고 했을 때 그 단위행렬은 아래와 같이 두 elementary matrix의 합으로 표현할 수 있다.  

 

단위행렬 Identity Matrix

차원을 2차원에서 3차원으로 변환시켜주는 선형변환 T라고 하고, 이때

이라 가정한다.

 

이때 X를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

 

이 식을 이용하면 다음과 같이 T(X)를 표현할 수 있다.

Linear Transformation

 

 

여기서 A가 파생되며, 이때 A의 size는 3×2이다. 만약 A라는 행렬이 n차원을 m차원으로 변환하는 선형변환 T에 대한 행렬이라면, A의 Size는 m×n이 되는 것이다.

 

A를 수학적으로 Standard matrix for the Linear Transformation T 라고 정의하며, 그 수식은 다음과 같다.

 

 

Q. 선형변환을 하는 이유는 무엇일까?

이미 유추했겠지만, 선형변환을 하는 본질적인 이유는 벡터의 크기를 조절(Scaling)하거나, 방향을 바꾸기(Rotating) 위함이다.

우리는 Scaling을 하는 과정에서 우리의 예상보다 더 많은 결과로서의 선형변환을 할 수 있다.

 

선형 변환에 대한 구체적인 사례들은 다음 포스팅을 참고하길 바란다.

2024.07.30 - [Mathematics/Linear Algebra] - Linear Transformation; 선형변환의 활용

Linear Transformation; 선형변환의 활용