시스템 응답(System response: Zero-State Response; Zero-Input Response)

시스템 응답(System response: Zero-State Response; Zero-Input Response)

 

Intro

오늘은 LTI시스템의 응답을 동차해와 특수해로 나눠서 해석할 것이다.

 

 

Zero State Response, Zero Input Response

LTI시스템은 LCCODE(Linear Constant Coefficient Ordinary Differential Equation)으로 모델링한다. 모양은 다음과 같다.

 

LCCODE

 

여기서 y는 결과, u는 입력값이다. n은 order of system이다. 이때 결과값 y는 다음과 같이 분석 가능하다.

 

 

y값은 zero state response, zero input response의 합으로 구성된다. 즉, 결과값은 입력값에 의한 결과값과 초기 상태(Initial Condition)에 의한 결과값의 합으로 이루어진다. 

 

Zero State Response

말 그대로 초기 상태가 0일 때의 결과값이다. 초기 상태가 0이라면 당연히 입력에 의한 결과값(Zero Input Response)만 남을 것이다. 따라서 Zero State Response는 입력에 의한 결과값이다. 이를 외부조건이라 하여 External Condition에 의한 결과값이라고도 정의한다. 입력에 의한 결과값은 선형성을 만족해야 하므로, 입력값의 t가 0일 때, Zero State Response도 0이다. 주로 입력을 줬을 때 결과를 보기 위해 사용한다.

 

Zero Input Response

이와 반대로 Zero Input Response는 내부 조건에 의한 결과값이며, 초기 상태가 영향을 미친다. 입력이 0일 때의 결과값인 특성이 있다. 주로 시스템이 갖고있는 기본적인 속성들을 확인할 때 사용한다. 또한 결과값의 초기값에 영향을 준다.

 

미분방정식

미분방정식을 풀면 General Solution은 2가지로 분해할 수 있다. Homogeneous Solution과 Particular Solution. 이 두 해와 Zero State Solution, Zero Input Solution의 해는 본질적으로 같을까? 그렇다.

 

제어공학적 관점에서 Homogeneous Solution과 Zero Input Solution은 완전히 같으며, Particular Solution과 Zero State Solution도 완전히 같다. Zero Input Solution은 입력이 0일 때, 시스템 그 자체에서 나오는 자연 응답으로서, 시스템 고유의 특징을 담고 있으며, 따라서 시스템을 바꾸지 않는 이상 동차해를 수정할 수 없다. Zero State Solution은 반대로 시스템의 영향에 관계없이 오로지 입력에 의해서 결정되는 해로, 입력의 수정을 통해 강제로 출력을 바꿀 수 있다. 따라서 강제 응답이라고도 한다.  그러나, 한 가지 주의해야 할 점은 '미정계수법'을 통해 구한 동차해가 Zero Input Solution과 다르다는 것이다. 구체적인 설명은 밑에서 하도록 하겠다.

 

 

 

Transient Response, Steady-State Response

시스템의 응답을 해석하는 또 하나의 범주는 Transient Response와 Steady-State Response이다. 실제로 출력 그래프를 그려보면 Dominent Pole의 Time Constant의 5~6배 되는 시점을 기점으로 2구간으로 분리할 수 있다. 앞부분은 Initial time 직후의 시스템 반응으로 Zero Input response + Zero State response이고, 2번째 구간은 Zero Input Response가 0으로 근사되는 시점이기에 Zero State Response만 남게 된다. 아래 포스팅을 읽으면 이해가 쉬울 것이다.

2024.08.02 - [Engineering/Linear System and Signal] - Pole and Time Constant(시상수)

Pole and Time Constant(시상수)

 

예제

 

먼저 미정계수법을 이용하여 특성해를 구할 것이다(미정계수법은 특성해를 구하기 위한 방법으로, 동차해의 초기조건을 고려하지 않는다. 이로 인해 미정계수법에 의한 동차해와 선형시스템 해석에 의한 동차해는 값이 다르다). 그다음으로, 선형시스템의 분석방법을 통해 Zero-input solution을 구할 것이다. 선형 시스템에서 초기입력은 0이므로, 초기 출력은 입력에 의한 영향이 제거된 출력인 Zero-Input solution과 같다. 즉, 선형시스템의 분석방법에서는 일반해의 초깃값이 1이 되고, 특성해의 초깃값은 0이다. 그러나, 미정계수법에서는 특성해와 동차해의 초깃값을 구분할 수 있는 방법이 없다. 그저 일반해의 초깃값이 1 임을 알고, 이를 이용하여 특성해를 구할 수 있을 뿐이다. 그러므로, 초깃값에 대한 정보 부족으로 미정계수법으로 구한 해는 선형 시스템 분석 방법으로 구한 해와 차이가 있을 것이다.

 

결과를 보면 알겠지만, Zero State Response과 Particular Solution은 값이 다르다. 하지만, 이것은 두 해의 정의가 서로 다르다는 것이 아니라, 계산 방법의 차이로 인한 오류가 생겼음을 의미한다.

 

다음 결과를 통해 우리는 Steady-State Response는 오로지 Zero State Response로 구성되어 있다는 사실을 알 수 있다. 하지만, Steady-State Response가 Zero State Response값과 일치하지는 않는다. 그래프를 그리면 다음과 같다.

 

 

위 그래프와 같이 Doninent Pole(1)의 시상수값인 1의 5~6배인 시점부터 그래프가 겹쳐진다. 즉 Steady-State 구간이라는 의미이다. Matlab 코드는 다음과 같다.

 

%================================================
%Handong Global University
%------------------------------------------------
%Name:      Taesan Kim
%ID:        22300203
%Create:    2024.08.21
%Modifire:  2024.08.21
%------------------------------------------------
%Simulation of Transient and Steady-State Responses
%================================================

clc;clear all;close all;

Time = struct("Start", 0.0, ...
              "Ts",1e-3, ...
              "Stop", 10.0);
Time.X = Time.Start:Time.Ts:Time.Stop;
x = Time.X;

y1 = 9/4 *exp(-x)-21/20 *exp(-3*x);
y2 = 0.1 * sin(x) - 0.2 * cos(x);
y = y1 + y2;

figure, grid on; hold on; %axis equal;
plot(x, y2, "b.");
plot(x, y, "r-");
title("Simulation of Transient and Steady-State Responses");
xlabel("time in seconds"); ylabel("system response");

 

결과적으로 위 시스템은 Stable 한 시스템임을 알 수 있다.

 

마치며...

시스템의 분석을 위해 거쳐야 할 단계는 다음과 같다. 먼저 미정계수법을 이용하여 일반해를 찾을 뒤, 제어 시스템 분석법으로 Zero-Input Response를 구한다. (초깃값은 선형성 만족 조건을 이용하여 입력의 초깃값이 0 임을 참고한다.) 그 뒤, 미분방정식 해결법으로 찾은 General Solution에서 Zero-Input Response를 빼서 Zero-State Response를 구한다. 도움이 되었길 바란다.