선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

선형성(linearity)는 선형함수와 완전히 다른 개념이다.

 

Superposition

한국어로 중첩 원리라고도 하는 이 특성은 선형성이 만족함을 보이는 본질적인 방법이다.

중첩 원리는 2가지 특성으로 이루어져 있다.

1. homogeneity

2. additivity

차근차근 보도록 하자.

 

선형성을 만족

먼저 선형성을 만족한다는 의미는 무엇일까?

임의의 함수 f를 정의하자. 만약 f의 입력에 x라는 독립변수를 넣으면 출력으로 f(x)가 나올 것이다. 같은 원리로 y라는 독립변수를 넣으면 출력으로 f(y)가 나올 것이다.

 

만약 a, b라는 두 상수를 정의할 때, f에 ax + by를 집어넣으면 어떻게 될까? 결과값은 f(ax + by)가 될 것이다. 만약 이 값이 a * f(x) + b * f(y)와 같다면 이때 f라는 함수가 선형성을 만족한다고 한다.

 

f(ax + by) = af(x) + bf(y)

 

Superposition의 두 성질을 정리하면 각각 아래와 같다.

Homogeneity

f(ax) = af(x)

Additivity

f(x + y) = f(x) + f(y)

 

그럼 우리는 자연스럽게 additivity가 homogeneity의 충분조건이며, 따라서 additivity만 만족하면 선형성을 만족하리라는 사실을 유추해볼 수 있다.

 

선형함수와 선형성

시작에서 선형함수와 선형성이 완전히 다르다고 하였는데, 그 이유는 아래와 같다.

 

clc; clear all; close all;

TIME = struct('Start', 0.0, ...
              'Final', 20.0, ...
              'Ntime', 1, ...
              'Ts', 1e-3, ...
              'time', 0);
TIME.time = TIME.Start : TIME.Ts : TIME.Final;
TIME.Ntime = length(TIME.time);
TIME.idx = 1;
pi = 3.1415; %원주율

output.signal1 = 0.25 * pi*TIME.time;
output.signal2 = 0.25 * pi*(TIME.time).^0.5;
output.signal3 = 0.25 * pi*TIME.time + 4;
output.signal4 = round(output.signal1);

figure, hold on, grid on;
plot(TIME.time, output.signal1, 'r-', 'DisplayName','선형성을 만족하는 함수');
plot(TIME.time, output.signal2, 'b-', 'DisplayName','비선형함수');
plot(TIME.time, output.signal3, 'y-', 'DisplayName','선형함수');
plot(TIME.time, output.signal4, 'b.', 'DisplayName','디지털 함수');

axis equal;
xlabel('Time [sec]'   , 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Amplitude [-]', 'FontWeight', 'bold');
legend('Location','northeast','FontWeight','bold');

 

다음은 Matlab코드이다.

노란색 선이 선형함수, 빨간 선이 선형성을 만족하는 선형함수이다.

위 그래프에서 알 수 있듯이 선형성을 만족하는 함수는 선형함수이지만, 선형함수라고 선형성을 만족하지 못한다. 왜냐하면, 선형함수라고 해도, 원점을 지나지 않으면, 결국 y절편에 의해 additivity가 만족하지 않으며 이로 인해 superposition을 만족하지 않기 때문이다.