시스템(System)

시스템(System)

제어공학에서 시스템의 정의를 이해하는 것은 매우 중요하다. 오늘은 제어공학적 관점에서 시스템의 기본적인 모든 개념과 분류에 대해 알아보도록 하겠다. 

 

What is the System?

PID제어기

 

위 사진은 Simulink에서 PID 블록을 이용하여 PID제어기를 구현한 모습이다. 총 5개의 블록으로 이루어져 있고, 각각의 블록은 시스템이라고 할 수 있다. 또한 각각의 블록들로 이루어진 전체 제어 시스템 또한 시스템이다. 그렇다면 시스템을 시스템이라고 부를 수 있는 주요 특징은 무엇일까?

 

System

시스템은 서로 상호작용하는 요소들의 집합이다. (한 요소의 상태반응 또는 변수가 다른 상태에 영향) 또는 입력으로부터 출력을 내보내는 연산의 조합을 시스템이라고도 한다.

 

State

시스템을 표현하는 수학적 방법중 하나를 상태라 한다. 다음은 상태의 또 다른 정의와 기능을 설명한다.

• The information at t0 that, together with the input u [t0, ∞), determines uniquely the output of the system y(t) for all t0 <= t
• summarizes the essential information about the past input u [-∞, t0) which is needed in determining the future output of the system

즉, 상태는 t0에서의 정보를 포함하며, 그에 관한 인풋값도 포함한다. 그리고, 그 정보를 통해, 혼자서 t0 <= t에서 y(t)값을 결정한다. 또한, 과거 입력의 모든 근본적인 정보를 기억하고, 이를 통해 미래 결과값을 결정하기도 한다. 상태는 시스템을 구현하는 수학적 방법으로 상태공간 방정식(state-state EQ)으로도 정의되기도 한다. 상태공간 방정식은 다음과 같다.

 

 

위 상태공간 방정식은 현대제어에서 시간 영역의 시스템을 분석할 때 다루는 것으로 알고 있다. 이 포스팅과 카테고리는 고전제어를 다루기 위한 목차를 설명하는 용도이므로, 언급정도만 하고 넘어가는 것으로 하겠다. 

 

시스템 분석은 시간 영역과 주파수 영역에 따라 분류되며, 시간 영역에서는 미분, 차분 방정식으로, 주파수 영역에서는 라플라스 변환을 통한 전달함수, 푸리에 변환과 관련됨 주파수 응답을 통해 시스템을 분석한다.

 

Classification

시스템은 다음과 같이 분류된다. 

• Number of Inputs and Outputs
  • SISO(Single Input Single Output)
  • SIMO(Single Input Multiple Output)
  • MISO
  • MIMO
• Linearity System
  • Homogeniety와 additivity를 만족하는 시스템을 일컫는다. 즉 선형성을 만족해야 한다. 선형성에 관해서는 선형대수학 카테고리에 다룬 바가 있으니 참고하길 바란다.
  • 모든 선형 시스템의 초깃값은 선형성을 만족하기 위해 0이 되어야 한다.
• Time Invariance
  • 시불변성이다. 만약 어제 1이라는 입력을 넣었을 때 5.04가 나오는 시스템이 있었다고 한다. 오늘 1이라는 입력을 넣었을 때 5.001 출력이 나온다면 이것은 무엇을 의미할까? 시간에 따라 값이 조금씩 다른 특성이 있는 시스템은 시간에 의존한다고 하여 Time variance system이라 한다. 
  • 예를 들어 아날로그 회로는 Time variance system이고, 디지털 시스템은 대부분 Time invariance system이다.
• Causal System
  • 시스템의 출력이 오직 과거 또는 현재의 값으로만 결정된다면 이것은 Causal system이다.
  • 현재의 출력을 위해 미래의 정보가 필요한 시스템을 본 적 있는가? 아마 거의 없을 것이다. 이러한 시스템은 non-anticipatory system이라 한다.
  • 현실에서 대부분의 시스템은 Causal system이다.
  • 대표적인 예시로 RLC회로가 있다.
• Memory System
  • 시스템의 출력을 결정하기 위해 현재의 입력뿐만 아니라, 과거 또는 미래의 입력값을 요구한다면 추가적인 메모리가 필요할 것이다. 이러한 시스템을 Memory system이라 한다. 다른 말로 Dynamic System이라고도 한다.
  • 반대로 현재의 입력값으로만 출력값을 구할 수 있는 시스템은 memoryless system 또는 Static system이라고 한다. 대표적인 예로 저항 회로가 있다. 입력과 출력 간의 algebratic relationship으로 인해 출력을 하나의 입력으로 구할 수 있지 않은가?
• Lumped system
  • concentrated system이라고도 하는 이 시스템은 시스템을 한 덩어리로 볼 수 있느냐에 따라 분류된다. 
  • 예를 들어, Linear & Memoryless 시스템은 단순한 선형 연산으로 표현 가능하며, 매개변수 t의 변화가 전체길이 시스템에 비해 매우 작으므로 한 덩어리로 볼 수 있다.
  • 시스템을 한 덩어리로 보는 특성은 시스템의 복잡도를 줄여준다.

이렇게 다양한 시스템이 있다. 심지어 이것 외에도 더 많은 분류가 존재한다.

 

 

LTI시스템

그렇다면 위에 언급된 시스템의 종류 중에서 우리가 완벽하게 분석하여 미래 출력을 예측할 수 있는 시스템은 무엇일까? 만약 그런 시스템이 존재한다면 시간이 변해도 시스템의 상태는 변하면 안되고, 미래를 예측할 수 있도록 시스템의 입출력은 선형적이어야 한다. 

 

이러한 시스템을 LTI(Linear Time Invariance) 시스템이라고 한다. LTI시스템은 전체 시스템의 작은 부분을 차지하지만, 사실 거의 모든 시스템은 LTI시스템으로 근사하여 분석이 가능하다!

 

Exercise

주어진 시스템이 LTI시스템(ㄹ티)임을 확인하는 작업을 하도록 하겠다. 그리 어렵지 않다. 2가지만 확인하면 된다. 선형성을 만족하는가? 시불변성을 만족하는가? 그럼 예제를 보도록 하자.

 

 

다음 시스템이 LTI시스템인지 확인해 보자.

선형성을 판별하는 것은 감이 바로 올 것이다. 하지만, 시불변성은 약간 헷갈리는 건 사실이다. 핵심은 이렇다. Input의 Argument에 Time shifting을 했을 때랑 Output의 Argument에 Time shifting을 했을 때 식이 같으냐 다르냐를 확인하면 된다. 이때 Argument란, 괄호 안에 있는 변수를 의미한다.