1차 미분방정식의 적분인자법, 제차해, 비제차해(Integrating factor; Homogeneous solution; Non-homogeneous solution)

1차 미분방정식의 적분인자법, 제차해, 비제차해(Integrating factor; Homogeneous solution; Non-homogeneous solution)

 

들어가며...

2025.03.18 - [Mathematics/Differential Equation] - 변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)

변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)

이전 포스팅에서 1차 미분방정식의 3가지 해법인 변수분리 해법, 동차 미분방정식 해법, 완전 미분방정식 해법을 정리하였다. 만약 1차 미분방정식이 변수분리가 불가한 비동차 미분방정식임과 동시에 불완전 미분방정식일 때 1차 미분방정식을 어떻게 풀 수 있을까? 그 해답은 바로 적분인자법이다.

 

적분인자법을 들어가기에 앞서, 먼저 1차 선형 미분방정식의 형태와 그 일반해의 구성을 공부할 필요가 있다. 1차 선형 미분방정식의 일반해는 초기치의 의한 출력인 제차 미분방정식의 해와 외부입력에 외한 응답을 담고 있는 비제차 미분방정식의 해의 선형조합으로 구성된다. 제어공학적 관점에서 제차 미분방정식과 비제차 미분방정식의 차이점은 아래 포스팅에 정리해 놓았다.

2024.08.21 - [Control Engineering/Linear System and Signal] - 시스템 응답(System response: Zero-State Response; Zero-Input Response)

시스템 응답(System response: Zero-State Response; Zero-Input Response)

 

동차 미분방정식과 제차 미분방정식은 일반적으로 같은 미분방정식을 가리키지만, 그 의미에는 차이가 있다. 동차 미분방정식은 모든 항의 차수가 같은 미분방정식을 의미하며, 제차 미분방정식은 상수를 의미하는 비제차항이 0이 되어 입력이 0인 미분방정식을 의미한다. 주로 공간이 같음을 의미한다.

 

표준형(Standard form)

적분인자법을 공부하기 전에 1차 미분방정식을 표현하는 기본적인 형태를 정리하도록 하겠다.

표준형

위 식에서 왼쪽은 Standard form이고, 오른쪽은 Reduced Standard form을 의미한다. 여가서 r(x)는 입력을, y(x)는 출력 또는 응답을 의미한다. 이 응답은 입력에 의해 야기된 물리량으로, 운동, 전류, 전압 등을 의미한다.

 

일반해

미분방정식의 일반해는 제차해와 비제차해의 합으로 구해진다. 여기서 제차해는 입력이 0인 경우에 오로지 동적 시스템(미분방정식)에 의해서만 나오는 출력에 관한 해이며, 초깃값으로 값이 특정된다. 비제차해는 외부입력에 의한 응답과 초기치에 의한 응답을 모두 담고 있는 해이다. 이 역시 초기치에 영향을 받으므로, 제차 미분방정식과 비제차 미분방정식 모두 초기치를 이용하여 최종적인 해를 구하는 과정이 필요하다.(IVP; Initial value problem)

 

제차 미분방정식의 해(입력 = 0)

r(x)=0인 경우를 생각해보자. 미분방정식은 변수분리가 가능한 형태가 되므로 아래와 같이 해를 구할 수 있다.

 

위에서 이미 언급했지만, 제차해는 외부 입력이 없어도 출력이 있음을 보여준다. 그 이유는 초깃값에서 찾을 수 있다. 제차해는 초기치에 의해 형성된 출력으로 이해될 수 있다. 위 포스팅을 참고하면, 제차해가 곧 zero input response임을 알 수 있다.

 

비제차 미분방정식의 해(입력이 0이 아니다)

비제차 미분방정식은 우변이 0이 아닌 경우가 대부분이기 때문에, 주로 완전 미분방정식의 형태가 아니다. 주로 비동차 미분방정식의 형태이다. 그러므로 적분인자를 통해 이 미분방정식을 완전 미분방정식의 형태로 바꾸는 방법을 사용해야 한다.

 

위와 같은 방정식을 완전 미분방정식의 형태로 바꾸기 위해 양변에 적분인자 F(x)를 곱해주자.

 

위 등식이 완전 미분방정식 형태를 만족하기 위해서 다음 식을 만족해야 한다.

 

따라서 적분인자는 다음과 같이 구할 수 있다.

적분인자

 

이제 적분인자를 통해 완전 미분방정식 형태로 바꾸었으니, 적분을 통해 해를 구하는 일만 남았다.

 

위 비제차 미분방정식의 해는 외부입력에 의한 응답(first term)과 초기치에 의한 응답(second term)의 선형 조합임을 알 수 있다. 또한 적분상수 c는 주어진 초기치 y(0)로부터 산출된다.

 

위 식에서 first term에 속하는 zero-state response를 보면, 이 값은 입력함수의 조정을 통해 출력을 유도할 수 있음을 알 수 있다. 예를 들어, 제어공학에서 필터링, waveform shaping, Amplification 또는 function generators, Feedback control에 임의의 수정을 가해 출력을 유도하기도 한다. 반면, second term에 해당되는 초기치에 의한 응답은 오로지 initial conditions에 의해 바꿀 수 있다.

 

마치며...

긴 글 읽느라 수고했습니다.