선형 상수계수 1차 미분방정식(LCCODE; Linear Constant Coefficient ODE)

선형 상수계수 1차 미분방정식(LCCODE; Linear Constant Coefficient ODE)

 

 

1차 시스템에서 유일하며 직관적인 해가 항상 존재하는 형태
- LCCODE

 

 

들어가며...

이번 포스팅은 시스템 해석의 관점에서 선형 상수계수 1차 미분방정식의 완전해를 정리할 것이고, 기초적인 신호(단위 계단, 임펄스, exponential, sinusoidal)에 의한 응답을 유도할 것이다.

 

LCCODE

기본 형태는 아래와 같다.

 

이를 적분인자법을 통해 해를 구하면 아래와 같다.

 

여기서 기억해야 할 점은 particular solution은 외부 입력의 해와 같고, c는 초기조건에 의해 만들어진다는 사실이다. 여기서 p는 시스템의 pole이라고 하며 이는 시스템의 수렴속도와 안정성을 판별하는데 매우 중요한 개념이다. 이 시스템은 p의 부호에 따라 2가지로 분류할 수 있다.

 

1. p>0

p가 양수일 때 안정된 시스템(Stable system)이며, steady-state가 존재한다. 왜냐하면 p가 양수일 때 시간이 경과함에 따라 해가 지수적으로 감소하기 때문이다. 특히 외부 입력이 없는 경우엔 제차해가 0으로 수렴한다. 이때 동차해(y_h)와 특성해(y_p)는 각각 transient, long-term(or steady-state) solution으로 부르기도 한다. 계수 c는 y(0)과 같고, 초기치는 transient solutioin에만 영향을 준다. 

 

위 함수에서 확인할 수 있듯이, transient solution은 y(0)에서 출발하며, steady-state solution은 0 주변을 진동함을 알 수 있다.

 

2. p<0

만약 p가 음수이거나 0이라면, 시스템은 시간이 경과함에 따라 발산할 것이다. 따라서 steady-state를 정의할 수 없을 것이다.

 

LCCODE의 완전해

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열공간, 영공간, 행공간(Column space; Null space; Row space)

이 포스팅은 시스템의 해를 선형대수학의 공간과 연결지어 각각의 해 사이의 관계를 명확하게 한다.

위 그림에서 transient solution은 동차해로서, 영공간에 존재한다. steady-state solution인 특성해는 행공간에 존재함을 알 수 있다. 이 두 해의 선형결합인 완전해(complete solution)은 시스템의 열공간 안에 존재함을 확인할 수 있다.

 

선형성에 의해 완전 해 = 영공간의 해 + 특수해이며, 이를 연립방정식 형태로 표현하면 아래와 같다.

 

여기서 동차해는 위에서 언급했듯이 y(0)에서 시작하며, 특성해는 0에서 시작한다. 결과적으로, 일반해 y(t)는 y(0)에서 시작함을 다시 확인할 수 있다. c=y(0)이었음을 이용하여 LCCODE의 일반해를 아래와 같이 다시 표현할 수 있다.

일반해

 

상수 입력에 의한 응답

위 식에서 r(t)에 상수 q를 넣는다.

 

단위 계단응답(unit step response)

y(0)=0이고, q=1인 경우를 생각하면 되므로, 아래와 같다.

 

임펄스 응답(impulse response)

다음과 같은 임펄스 함수를 입력으로 넣었다고 가정하자. 역시 초깃값은 0으로 가정한다.

 

위와 같은 입력을 넣으면, comb property에 의해 아래와 같은 결과가 나온다.

 

Exponential Input에 대한 응답

미분방정식이 아래와 같다고 가정하자. 이때 p>0이다. 또한 초깃값 y(0)=0이라 가정한다.

 

첫 번째 항은 초기치에 의한 응답과 일치하지 않는 것을 알 수 있다. 즉, 동차해와 일치하지 않는다. 이는 첫번째 항이 동차해와 특성해의 일부가 결합된 상태임을 알려주고 있다. 이는 미정계수법에 의해 산출된 제차해에 해다된다. 여기에서 동차해와 제차해가 다를 수 있음을 확인할 수 있다. 미정계수법에 의해 산출된 제차해가 사실은 동차해와 일부 특성해의 결합으로 구해진 사실이다.

 

두 번째 항은 입력과 거의 동일한 형태임을 확인할 수 있다. 즉, 안정한 시스템에서 정상상태는 입력과 동일한 형태의 출력이 얻어 짐을 암시한다.

 

 

Sinusoidal Input에 의한 응답

Exponential Input에 imaginary 지수를 추가한 것과 동일하다. 오일러 정리를 통해 지금 무슨 말을 하고 있는지 알 수 있을 것이다.

2024.08.12 - [Control Engineering/Linear System and Signal] - 오일러 공식[Euler Formula]

오일러 공식[Euler Formula]

 

오일러 공식을 이용한다면 Exponential Input에서 Ae^{at}대신에 Be^{jwt}를 대입하고, 그 응답의 Real part만 추출하면 된다.

 

여기서 주요 관심사는 첫번째 항이 아니라, 두번째 항이다. 첫번째 항은 시간이 지나면 transient부분은 0에 수렴하므로, steady-state의 모양에 영향을 주지 못한다. 따라서 첫번째 항은 일단 무시하고 두번째 항을 유심히 볼 것이다.

피(phi)를 위와 같이 가정한다면 아래와 같은 등식이 성립한다.

위 등식을 대입하면,

 

와 같다. 아까 전에 첫번째 항을 무시한다고 했던 것을 기억하자. 결론적으로, sinusoidal input에 대한 응답은 입력과 동일한 주파수를 가지며, 절대로 새로운 주파수가 출현하는 일이 없음을 알 수 있다. 

 

입력대비 출력의 크기와 위상은 각각 아래 함수만큼 변화된다.

 

이를 통해 입력 대비 출력의 크기 비(gain)과 위상(phase) 지연은 입력신호 주파수에 따라 달라짐을 알 수 있다. 주파수 변화에 따른 출력과 위상지연을 각각 그래프로 표현한 것이 보드 선도(Bode Plot)이다.

 

마치며...

LCCODE의 여러가지 출력에 대해 이해했을 것이라 기대한다. 보드 선도는 자동제어 카테고리에서 다룰 예정이다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.