변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)

변수분리, 동차, 완전 미분방정식(separable; homogeneous; exact)

 

 

How a function changes when all its variables change simultaneously?
- Total differential

 

전미분(total differential)은 종속함수의 모든 변수들의 변화에 대한 함수의 변화를 의미한다. 각각 변수에 대한 함수의 편미분에 각각 변수의 극소 변화량을 곱한 값을 더한 결과는 종속함수의 전미분이다.

 

들어가며...

 

이번 포스팅에서는 1차 미분방정식의 가장 기본적인 3가지 형태와 그 해법에 관해 공부할 것이다.

 

 

변수분리 미분방정식(Separable DE)

아래와 같은 형태로 표현 가능한 미분방정식을 의미한다.

이런 경우엔, 아래와 같은 과정으로 해를 쉽게 구할 수 있다.

만약, 어떤 1차 미분방정식을 변수분리의 형태로 바꿀 수 있다면 적분을 통해 y(t)를 손쉽게 구할 수 있다. 

 

 

Example

 

위 경우처럼 explicit form(명확한 solution)을 찾을 수 없는 경우엔, implicit form(solution이 범위 형태)로 해를 기술한다.

 

 

동차 미분방정식(homogeneous DE)

변수 분리를 통해 미분 방정식을 해결할 수 있음을 알 수 있다. 그러나, 변수 분리를 적용할 수 있는 형태의 미분 방정식은 매우 드물다. 그렇다면 어떤 미분 방정식이 변수 분리를 적용할 수 있는 형태로 바꿀 수 있는 미분방정식일까? 변수 치환을 통해 변수 분리로 풀이할 수 있는 미분방정식이 동차 미분방정식이다.

 

동차성을 만족하는 미분방정식. 동차성은 아래 포스팅에 정리해 놓았다.

2024.07.29 - [Mathematics/Linear Algebra] - 선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

선형성이란?(Superposition, Homogeneity, Additivity)

m동차 함수는 아래와 같은 등식을 만족하는 함수이다.

예를 들어 4차 동차함수는 아래와 같이 표현된다.

 

동차 미분방정식을 정의한 이유는 동차 미분방정식은 변수 치환을 통해 아주 쉽게 풀이할 수 있는 특성이 있기 때문이다. 이 특성은 동차성 그 자체의 특성과 동치이다. x, y에 대한 함수가 동차라는 것은 곧, x와 y의 관계식의 차수가 같다는 것을 의미하며, 이는 y=ux로 변수 치환을 하였을 때, 해를 구할 수 있음을 의미하기 때문이다.

y=ux로 변수치환을 미분하면 아래와 같다.

 

Example

 

위 방정식은 동차 방정식이다. 양변에 dx를 곱하면 아래와 같다.

 

이를 implicit form으로 나타내면 아래와 같은 해를 구할 수 있다.

 

완전 미분방정식(Exact Differential Equation)

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0에서 좌변이 u = f(x, y)의 전미분인 미분방정식을 의미한다. 이때, u = f(x, y)의 전미분(total differential)은 아래와 같다.

각각 변수에 대한 편미분에 각각 변수의 미소 변화량(infinitesimal change)를 곱한 값을 더한 값과 같다. 

 

따라서 완전 미분방정식이 될 조건은 아래와 같다.

 

완전 미분방정식은 du = 0이면 u = c(상수)임을 이용하여 해를 도출할 수 있다. 우선 완전 미분방정식은 아래와 같은 식을 만족한다.

그런데 잘 생각해보자. 아까 전에 u를 x에 대해 편미분한 값은 M과 같다고 했다. 한편, du = 0이므로, u = 상수이다. 만약, M을 x에 대해 적분한다고 가정했을 때, x가 들어간 항은 u에서 x가 들어간 항과 일치할 것이다. 그렇다면 M을 x에 대해 적분한 값에 y에 관한 함수를 더했을 때 u와 같음을 만족하는 y에 관한 함수를 정의할 수 있다. 이때 이 함수를 적분상수 k(y)라 하자. 반대의 경우는 l(x)라 두자. 이를 아래와 같이 나타낼 수 있다.

따라서 이 식이 완전 미분방정식의 해가 된다.

 

Example

 

위 미분방정식은 동차 미분방정식임과 동시에 완전 미분방정식이다. 위 미분방정식을 두 가지 방법을 통해 해결하고 그 해가 같음을 보여라.

 

마치며...

이번 포스팅에서는 선형미분방정식 중에서도 극히 일부인 1차 미분 방정식, 그 안에서도 일부인 변수 분리, 동차 미분방정식, 완전 미분방정식을 다루었다. 앞으로 좀 더 일반화된 경우의 해법에 다가가는 방향으로 범위를 넓혀 갈 예정이다.