동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)

동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)

 

물체는 가만히 있지만, 빛이 움직이면 물체의 그림자는 움직인다.

 

들어가며...

행렬 A는 선형 변환을 수행한다. 문제는 비선형 변환에도 A의 변환을 적용하고 싶은 것이다. 예를 들어, 평행이동 변환과 같은 비선형 변환은 어떤 방법을 사용해야 할까?

 

Q. 선형변환에 대한 표준행렬을 곱해서 원래의 좌표를 평행이동시키고 싶다면 어떻게 해야할까?

선형변환을 통해 평행이동을 시킨다는 말에 의아할 것이다. 왜냐하면 행렬을 곱한 선형변환에서는 Scaling과 Ratating만 가능하다고 알고 있었기 때문이다. 물론 차원을 원래 행렬의 차원 그대로 유지한다면 그럴 것이다. 예를 들어, 2차원에서 정의된 좌표에 2차원 행렬을 곱한다고 해도, 그 좌표는 2차원에서 크기가 변하고 회전하기만 할 것이다. 그러나, 차원만 3차원으로 늘리고, xy좌표를 유지한 채, z좌표에 1을 채운 3차원 좌표에 3차원 행렬을 곱한다고 하면 어떻게 될까?

 

우리는 차원을 하나 늘림으로써 선형변환을 통해 평행이동을 할 수 있다. 더욱 구체적으로는 좌표 자체가 이동한 것이 아닌, 좌표의 그림자의 위치가 변한 것이다.

 

Homogeneous Coordinates의 정의

2차원상에 각각의 점들 (X, Y)이 있다고 하자. 3차원 상에 점 (X, Y, 1)이 있다고 하자. 우리가 2차원 평면을 위에서 바라보았을 때, 이 두 점은 일치한 것으로 보일 것이다. 이때 우리는 (X, Y)가 Homogeneous Coordinates (X, Y, 1)을 가진다고 한다.

 

평행이동 표준행렬

동차좌표계(Homogeneous Coordinates)를 이용하여 x,y를 각각 h,k만큼 평행이동하려고 할 때, 아래와 같은 방식으로 표현 가능하다.

 

Composite Transformations

이전에 배웠던 선형변환들을 모두 적용해서 좌표를 변환해보도록 하자.

 

2024.07.30 - [수학 이야기] - 선형대수학[Linear Transformation; 선형변환의 활용]

선형대수학[Linear Transformation; 선형변환의 활용]

 

Q. XY크기를 0.3만큼 Scaling하고, PI(rad)만큼 회전한 뒤, 마지막으로 (-0.5, 2)만큼 각 점들에 더하는 변환을 만들고 싶다.

 

A.

Composite Transformations

위 식과 같이 하고자 하는 변환의 표준 행렬을 오른쪽부터 곱해주면 된다.