상미분 방정식, 선형 미분방정식(Ordinary differential equation; Linear differential equation)

상미분 방정식, 선형 미분방정식(Ordinary differential equation; Linear differential equation)

 

여러가지 모델들과 그 풀이법
- 미분방정식의 목적

필요성

많은 공학적 문제들은 시변 동적 시스템과 관련이 있다. 예를 들어 전자회로, 항공우주시스템, 로봇, 에너지 플랜트와 같은 유형 시스템과 금융공학, 시스템생물학과 같은 무형 시스템과도 관련이 있다.

이러한 시스템들은 수학적으로 모델링할 수 있으며, 이것은 주로 미분방정식의 형태로 나타난다. 따라서 동적 시스템의 특성을 잘 이해하기 위해서 미분방정식의 해법이 요구된다.

 

일반적으로 동적 시스템은 비선형 편미분(PDE: partial differential equation) 방정식으로 기술된다. 여러가지 독립 변수에 의한 종속 함수들로 표현되며, 이로 인해 비선형성을 띔과 동시에 편미분 방정식 형태로 기술되는 것이다. 그러나, 적절한 가정과 근사를 통해 1개의 독립변수에 의해 표현되는 상미분 방정식(ODE: ordinary differential equation)으로 변환 가능하다.

 

상미분 방정식(ODE)

1개의 독립변수로 기술되는 종속함수와 그 도함수로 표현되는 방정식이다. 예를 들어 1개의 독립변수 t와 이에 의해 기술되는 종속함수를 각각 입력 f(t)와 출력 y(t)로 구성한다고 할 때, n차 상미분 방정식은 아래와 같이 표현될 수 있다.

상미분방정식

 

편미분 방정식은 아래와 같다.

편미분 방정식

 

선형 미분방정식(Linear Differential Equation)

모든 상미분방정식이 선형성을 만족하는가? 아니다. 선형 미분방정식이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

1. 종속함수(입력, 출력)의 도함수는 모두 멱(power)이 1이어야 한다.

2. 계수는 독립변수 만으로 구성되어 있어야 한다. (종속함수의 멱이 1이어야 함을 내포)

 

위 조건들을 이해하는 데 아래 질문은 도움이 된다.

Q. 왜 y^2은 비선형성을 갖는데, dy/dt는 선형성을 만족할 수 있는가?

=> dy/dt는 1계 도함수로, 단순히 y의 변화율을 나타낸다. 간단히 말해, d/dt × y로 보고, d/dt를 연산자 취급한다. 미분 연산자는 선형 시스템이므로, y의 선형성이 유지된다.

 

따라서 선형성을 만족하기 위해 미분 연산자가 몇 번 곱해졌는가는 상관없이, 그저 y의 멱이 1인지만 확인하면 된다. 따라서 1번 조건을 이해할 수 있다. 만약 2번 조건이 없다면 계수에 독립변수 외에 종속함수가 존재할 수 있고, 이는 1번 조건을 위배한다. 따라서 위 두 조건을 만족하면 선형 미분방정식이 성립함을 확인할 수 있다. 아래 예시를 보자.

선형 미분방정식

위 식은 선형 미분방정식이다. 여기서 계수의 비선형성은 방정식의 선형성에 영향을 주지 못한다.

비선형 미분방정식

위 식은 종속함수의 멱이 2인 항으로 인해 비선형 미분방정식임을 알 수 있다.

 

마치며...

오늘은 상미분 방정식, 선형 미분방정식에 대해 정리하였다. 다음 포스팅부터는 1계 미분방정식부터 시작하며 본격적으로 미분방정식의 해법을 공부할 것이다. 미분방정식의 해법을 공부하기 전에 아래 주요 용어들을 익혀두면 수월할 것이다.

제차(homogeneous) 미분방정식, 비제차(non-homogeneous) 미분방정식, explicit form함수, implicit form 함수, 특수해(particular solution), 일반해(general solution), IVP(Initial value problem)