상태천이행렬, 적분인자법, 미정계수법(State Transition Matrix; Integrating Factor Method; Method of Undetermined Coefficients)

상태천이행렬, 적분인자법, 미정계수법(State Transition Matrix; Integrating Factor Method; Method of Undetermined Coefficients)

2025.03.20 - [Mathematics/Differential Equation] - 선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

 

들어가며...

이번 포스팅에서는 선형 상수계수 2차 미분방정식의 특수해를 구하는 방법인 적분인자법을 정리할 것이다. 이전 포스팅에서 선형 상수계수 2차 미분방정식의 제차해를 구하는 과정을 정리했으니 참고하길 바란다. 적분인자법을 정리하는 과정에서 케일리-헤밀톤 정리를 이야기할 것이다. 케일리-헤밀톤 정리에 관한 구체적인 정리는 선형대수학 카테고리에서 확인하길 바란다.

 

 

적분인자법

1. 형태 변환

2차 시스템에 적분인자법을 적용하기 위해서 2차 미분방정식을 벡터 1차 미분방정식으로 변형해야 한다.

 

2. 적분인자법

적분인자법을 적용하여 1차 시스템의 해를 구하면 아래와 같다. 이때 x는 상태벡터를 의미한다.

위 식에서 첫번째 항이 homogeneous solution, 두번째 항이 particular solution이다.

 

3. 케일리-헤밀톤 정리

지수에 행렬이 있는 경우엔 어떻게 계산해야 하는가? 

케일리-헤밀톤 정리에 의해 위와 같은 등식이 성립한다. 이때 교윳값이 중근을 가지지 않는다면, 행렬의 계수들은 아래와 같은 식을 통해 얻을 수 있다.

 

4. 상태벡터에서 해 추출

 

미정계수법

미정계수법의 기본적인 아이디어는 입력의 주파수와 출력의 주파수는 같다는 사실이다. 이로 인해, 입력의 pole과 출력의 pole역시 같을 것임을 알 수 있다.

 

Example

1. 미정계수법

미정계수법에 의해 특성해는 지수가 2t인 자연상수 지수함수 형태를 가질 것이다.

 

IVP를 풀어주면, 최종 해는 아래와 같다.

 

2. 적분인자법

 

마치며...

적분인자법이 미정계수법에 비해 더 일반화된 방법이라고 생각하여 적분인자법 위주로 내용을 정리하였다. 반면에 미정계수법은 정리할 필요성을 크게 느끼지 못했다. 왜냐하면, 후에 정리할 라플라스 변환을 통해 미분방정식을 해결할 것이기에, 미정계수법은 이후에 아예 사용하지 않게 될 테니 말이다. 그래도 적분인자법은 그것과 관련된 개념들(케일리-헤밀톤 정리, 상태천이행렬)을 소개하면서도, 수치해석 코드를 만드는 분들에게 도움이 될 듯하여 정리하였다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.