선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

선형 상수계수 2차 미분방정식, 특성방정식(Characteristic Equation)

 

 

각각의 모드(mod)는 '독립적'으로 작용하면서 시스템의 동작을 구성한다.

 

들어가며...

이번 포스팅에서는 모드(mod)와 더불어 특성방정식의 개념이 파생된 과정과, 그 개념을 바탕으로 선형 상수계수 2차 미분방정식의 제차해를 구하는 방법을 정리할 것이다. 별도의 포스팅에서 적분인자법 또는 미정계수법을 통해 선형 상수계수 2차 미분방정식의 특수해를 구하는 과정을 정리할 것이다.

 

 

상수계수 2차 선형 미분방정식

상수계수 2차 선형 미분방정식은 다양한 물리 시스템의 거동 특성을 모델링 및 해석하는데 널리 사용된다. 아래는 상수계수 2차 선형 미분방정식의 형태이다.

 

여기서 좌변은 물리적 시스템의 특성을, 우변은 이 시스템에 가해진 입력을 의미한다. 이때 좌변의 계수는 물리적 시스템과 연관된 파라미터이다. mbk(mass, damper, spring constant)모델을 예로 들어보자.

mbk model

 

mbk모델의 모델링 결과는 아래와 같다.

 

 

특성방정식(characteristic equation)

특성방정식을 이해하기 위해서 먼저 해결해야 할 질문이 있다. 왜 고차 선형계수 미분방정식의 제차해는 모드의 선형조합으로 이루어졌는가?

 

제차해가 모드의 선형조합으로 이루어졌다는 말을 아래 식으로 표현할 수 있다. 왜 이런 표현이 가능할까? (푸리에 급수, 푸리에 변환, 라플라스 변환을 공부하면 이해가 갈 것이다. 이 변환이 공통적으로 이야기하는 핵심은, 대부분의 함수는 삼각함수 또는 자연상수 지수함수의 선형조합으로 표현 가능하다는 것이다. 따라서 제차해도 마찬가지로 자연상수 지수함수의 선형조합으로 표현 가능할 것이다.)

: 이 부분을 시스템의 모드(mod)라 한다. 모드는 주로 미분방정식의 차수만큼 존재하며, 각각 독립적인 기저벡터로 작용하며 시스템의 동작을 구성한다. (특성방정식이 중근을 가질 경우는 우선 무시한다.)

 

질문에 대한 답을 얻기 위해 2차 상수계수 선형 미분방정식을 생각해보자. 여기서 모드는 2개 존재할 것이다. 식을 쓰면 아래와 같이 표현 가능하다.

 

이것을 미분방정식에 대입하여 식을 전개하면 아래와 같다.

특성방정식

이 과정에서 나온 방정식이 특성방정식이다. 특성방정식의 해는 모드(mod)를 구함으로써 제차 미분방정식의 거동(시간에 따른 특성)을 결정하는 역할을 한다. 위에서 표현한 해를 다시 쓰면 아래와 같다.

여기서 람다는 특성방정식에 의해서 구해지는 pole이고, 계수들은 x의 초기치에 의해 결정된다. 더 구체적인 계산은 아래 제차해에서 이어질 것이다.

 

제차 미분방정식의 해

제차 미분방정식이란, 아래 방정식과 같이 입력이 0인 경우, 우변이 0인 경우에 미분방정식의 해를 의미한다. 입력과 관계없이 시스템에 의해 나오는 출력이며, 시스템의 고유한 특성을 담고 있는 해이기도 하다.

상수계수 2차 선형 미분방정식의 제차해를 구하는 과정은 아래 3가지로 분류할 수 있다.

 

1. 특성방정식이 서로 다른 두 실근(real root)를 가질 때

 

2. 복소근(complex root)

여기서 -2는 감쇄계수를 의미하며, 감쇄 속도를 결정한다. 얼마나 빠르게 정상상태에 도달하느냐를 결정하는 수이다. j의 계수인 1은 진동주파수를 의미한다. 이는 시스템의 진동의 빠르기를 의미하며, 1초에 몇 라디안을 회전하였는가를 의미하는 수이다. 이것의 깊은 의미는 오일러 공식과 라디안의 의미를 복습하고 아래 내용을 읽어보면 이해가 갈 것이다.

 

최종 해석에서는 실수 결과가 필요하므로, 위 해를 복소근이 없는 형태로 바꾸어 준다. x가 실수함수일 때, 그 켤레근과 x가 동일하다는 것을 통해 c의 형태를 구하고 이를 정리하면 아래와 같은 결과가 나온다.

 

여기서 A와 phi는 초기조건을 통해 구할 수 있다.(IVP)

 

3. 중근(repeated root)

 

중근인 경우에, 문제는 다음과 같다. 한 pole에 대해서 모드가 2개이다. 이때 모드는 서로 선형독립해야 하므로, 지수가 -2t인 지수함수가 서로 독립한 경우를 찾으면 된다. -2t를 지수로 갖는 지수함수와 그 지수함수에 t가 곱해진 지수함수가 서로 선형독립임을 확인하면 아래 형태가 올바른 해의 형태임을 증명할 수 있다.(이에 대한 명쾌한 설명은 계수내림법(Reduction of order)을 통해 다른 포스팅에서 정리하도록 하겠다.)

 

위 두 모드가 서로 선형독립함을 증명하기 위해 론스키안(Wronskian)을 계산하면 된다. 론스키안 결과는 아래와 같다.

 

Example

특성방정식의 근이 아래와 같을 때, 일반해는 다음과 같다.

 

 

마치며...

이번 포스팅에서 선형 상수계수 2차 미분방정식의 제차해를 구하는 방법을 살펴보았다. 여기서 특성해를 구해서 제차해와 특성해를 더해주면 일반해를 구할 수 있다. 특성해를 구하는 방법은 적분인자법, 미정계수법으로 2가지가 있으며, 이에 관해서 다른 포스팅에서 다루도록 하겠다.