내적 공간(Inner Product Spaces)

내적 공간(Inner Product Spaces)

 

벡터 공간의 실질적 형태

 

들어가며...

2차원 벡터 공간을 가정할 때, 암묵적으로 유클리드 공간이라고 정의하고 문제를 해결한다. 그러나 엄밀하게 따지면, 2차원 벡터 공간을 가정한 것 만으로 유클리드 공간이라고 단정지을 수 없다. 2차원 벡터 공간에 무수히 많은 내적 공간이 존재하기 때문이다. 

 

유클리드 공간은 무수히 많은 내적 공간 중에서 Dot product에 의해 정의된 공간을 의미하며, 이 정의를 통해 벡터의 길이, 거리, 각도를 정리할 수 있다. 이번 포스팅은 내적 공간의 의미와 그것이 적용되는 예를 살펴볼 것이다.

 

내적 공간(Inner Product Space)

벡터 공간은 벡터들의 집합이다. 벡터들의 집합 만으로 벡터의 길이, 거리, 각도를 정의할 수 없다. 하지만, 지금까지 벡터의 길이, 거리, 각도를 잘 정의해왔다. 그 정의는 아래와 같다.

 

위와 같이 벡터의 길이와 거리, 각도를 정의할 수 있었던 이유는 벡터 공간을 유클리드 공간으로 가정하였기 때문이다. 그래서 유클리드 공간에서 정의된 Dot product를 통해 길이, 거리, 각도를 구할 수 있었다. 그러나, 모든 공간에서 내적을 Dot product로 계산하는가? 그건 아니다. 내적 공간을 만족하는 내적 연산은 Dot product를 포함하여 무수히 많기 때문이다. 내적 공간을 만족하기 위한 내적 연산의 조건은 아래와 같다.

 

1. 양의 정부호성

 

2. 대칭성

 

3. 선형성

 

위 3개의 조건을 만족하는 함수는 내적 공간을 만족하는 내적 함수라 할 수 있다. 내적은 <>로 표현하며, 내적이 정의될 때 비로소 공간에서 벡터의 길이, 거리, 각도를 구할 수 있기 때문에, 내적 공간이라고 정의할 수 있다. 즉, 벡터 공간에서 내적을 정의하여 벡터의 기하적 계산이 가능한 공간을 내적 공간이라 한다. 내적 공간은 Dot product에 가중치가 포함된 형태이다.

 

위 식에서 함수는 무한 차원 벡터임을 알 수 있다. 여기서 A는 가중치이며, 일반적으로 모두 1로 가정한다(유클리드 공간).

 

적분

적분도 내적으로 정의될 수 있다. 적분으로 정의된 내적에서 전체 공간의 차원은 C[a, b]로 나타내며, 이는 a에서부터 b까지 모든 연속 함수를 의미한다. 함수는 무한 차원 벡터이기에, 차원의 수보다 그 범위로 표현하는 것이다. 그렇다면 어째서 적분도 내적이 될 수 있을까? 우선 아래 그림을 보자.

출처: Linear Algebra and its Application [David C.Lay]

 

 

아래와 같은 식은 내적이 되기 위한 조건들을 모두 만족한다.

 

여기서 n이 무한대로 발산하고, 델타 t가 극소량으로 된다면 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

적분은 흔히 신호처리에서 신호의 Power를 의미하기도 한다. 신호의 제곱은 신호의 Power와 같기 때문이다. 그러나, 단순한 제곱이 아닌, 제곱의 적분을 주기로 나눈 값을 사용한다. 

 

위 식에서 g에 복소 공액이 추가된 이유는 크기를 계산할 때, 복소수 연산으로 인해 값이 0이 되는 것을 방지하기 위함이다.

 

마치며...

이번 포스팅에서는 내적 공간의 의미를 정리하고, 적분을 예시로 정리하였다. 내적 공간은 적분 뿐만 아니라, Weighted Least-Squares와 푸리에 급수까지 깊이 관여하고 있으므로, 이에 대해서는 다른 포스팅에서 정리하도록 하겠다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.