특성방정식(Characteristic Equation)

특성방정식(Characteristic Equation)

 

고유값의 개념에서 파생해 온 개념이다. 먼저 이전 포스팅을 읽고 오는 것을 추천한다.

2024.08.16 - [Mathematics/Linear Algebra] - 고유벡터(Eigenvectors)&고유값(Eigenvalues)

고유벡터(Eigenvectors)&고유값(Eigenvalues)

 

Intro

만약 행렬 A만 주어졌을 때, A의 고유값을 어떻게 찾을까?

 

Matrix Equation

위 등식에서 x가 Non-trivial Solution으로 존재하기 위해 (A - lambda I)가 not invertable 해야 하고,  따라서 determinent가 0이 되도록 하는 eigenvlaue값을 찾으면 된다.

 

 

즉 아래와 같은 등식을 만족시키는 lambda값을 찾으면 된다.

 

 

Characteristic Equation

특성 방정식(Characteristic Equation)은 미분방정식과 선형대수학에서 조금은 계산과정에서 차이가 있지만 본질은 같다.(선형대수학에서는 고유값을 찾을 때 고유벡터의 개념에 근원을 두는 반면, 미분방정식에서는 푸리에가 고안해 낸 기저함수 개념에 근원을 둔다.) 특성 방정식은 고유값에 대한 방정식을 의미한다. 즉, 특성방정식을 푼다라는 것은 고유값을 구한다는 의미와 같다. 예를 하나 들어보자.

 

다음과 같이 주어진 행렬 A의 특성방정식을 구하시오.

 

행렬 A

식을 풀어보면 다음과 같다.

여기서 5는 중근이므로, eigenvalue 5 have multiplicity 2.