선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula)

선형 시스템 연산자, ERF(Linear System Operator; Exponential Response Formula)

 

들어가며...

이번 포스팅에서는 선형 시스템 연산자를 이용하여 선형 미분방정식의 특성해를 찾는 공식을 증명할 것이다.

 

선형 시스템 연산자

연산자는 함수를 입력으로 받아 수정된 함수를 출력으로 변환하는 시스템으로, 미분 연산자(D)와 항등 연산자(I) 등이 있다.

 

선형 시스템 연산자는 상수계수 선형 미분방정식의 특성다항식(Characteristic polynomial)로 정의된다.

 

선형 시스템 연산자는 아래와 같은 기본 법칙을 만족한다.

 

특히 아래 2개의 법칙은 기억해두도록 하자. 선형 시스템 연산자에 임의의 2차 다항식을 대입하여 등식이 성립함을 보이면 위 법칙들을 쉽게 증명할 수 있다.

 

ERF(Exponential Response Formula)

선형 상수계수 시스템 연산자 p(D)에 대해 아래 등식을 만족시키는 특수해를 찾는 공식이다.

 

위 방정식에서 특성해를 찾는 공식은 2가지 경우로 분류된다. 첫번째는 특성다항식의 해가 a가 아닐 때이고, 두번째는 특성다항식의 해가 a일 때이다.

 

1. p(a) ≠ 0

 

2. p(a) = 0, a는 n 중근

 

위 결과를 증명하기 위해 2가지 정리를 설명할 필요성을 느꼈다.

 

근본 정리(Fundamental Theorem of Algebra)

p(D)가 근 a를 가지며, 중복도가 n일 때, 아래와 같이 표현 가능하다.

 

여기서 q(a)는 0이 아니다. 이를 다시 표현하면 아래와 같다.

 

여기서 p위에 -가 있는 기호는, q와 같다.

 

라이프니츠 법칙(Leibniz rule)

 

위 식에서 알 수 있는 점은 D = a일 때, n = k인 경우를 제외하고 나머지 항은 모두 0이 된다는 사실이다. 따라서, n = k인 경우만 고려하면 된다. D = a일 때, n = k인 경우, 방정식은 아래와 같다.

 

증명

 

위 결과가 특성해인 이유를 증명하기 위해서 우선 아래 등식에 위 등식을 대입한다. 선형 시스템 연산자의 기본 법칙(exponential shift rule)에 의해 아래와 같이 표현 가능하다.

 

근본 정리를 통해 아래와 같이 표현 가능하다.

 

분모를 라이프니츠 법칙에 의해 구한 방정식을 이용하여 변환하면 아래와 같이 표현 가능하다.

 

여기서 n!는 상수이므로, 연산자 D와 만난 항은 모두 0이 된다. 그러므로 아래와 같이 표현 가능하다.

 

마치며...

이번 포스팅에서는 ERF를 증명하였다. ERF는 지수함수 뿐만 아니라, 입력에 정현파가 들어갔을 때의 응답을 구할 수도 있다. 굳이 구하는 방법을 정리하지는 않겠다. 이전 포스팅에서 이미 그 아이디어를 간접적으로 다뤘기 때문이다.

 

이전 포스팅들에서 다뤘던 것처럼, 입력을 자연상수 복소 지수함수로 두고 해를 구한 뒤, 해의 Real part만 추출하면, cosine입력에 대한 응답을 구할 수 있다. 이를 통해, 선형 시스템을 지난 정현파는 그 주파수의 변화 없이, 오직 복소이득(Complex gain)을 얻을 수 있음을 알 수 있다. 이 복소이득은 정현파의 gain과 phase shift를 유발한다. 중요한 점은 gain과 phase shift는 입력의 주파수에 따라 변화한다는 점이다. 이를 그래프로 표현한 것이 보드 선도(Bode plot)이다.

 

만약, 입력 주파수가 특성방정식의 근이면, 출력은 증폭할 수 있다. 이것을 공명(resonance)이라고 한다. 이에 대해서는 공학을 공부하면서 피부로 느껴보기를 추천한다.

 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다.