벡터공간, 부분공간(vector space, subspace), Rank
벡터공간, 부분공간(vector space, subspace), Rank
모든 국가는 이념 위에 세워지는 법이다.
들어가며...
국가를 벡터 공간(Vector space)에 비유한다면 이념은 영벡터 만으로 이루어진 벡터 공간(smallest possible vector space)이다.
벡터 공간(Vector space)
벡터 공간의 정의는 선형조합에 의해 만들어진 벡터들의 집합(set of vector)이다. 이것을 행렬로 표현한다. 참고로, 행렬들의 집합은 모듈이라고 한다.
영공간(Zero space; Trivial vector space)
* 영공간(Zero space)는 영공간(Null space)와 혼동이 있을 수 있기 때문에, Z로 표현하도록 하겠다.
벡터 공간 중에서 가장 작은 벡터 공간은 영벡터 만으로 이루어진 벡터 공간이며, Z로 표현한다. 여기서 주의할 점은 Z에 벡터의 요소가 없는 것이 아니라는 점이다.
Z는 벡터공간의 연산을 정의하기 위해서 반드시 필요한 공간이다. 왜냐하면, 모든 벡터는 영벡터를 기준으로 표현된다. 즉, 기준점이 영벡터이기 때문에, 만약 어떤 벡터 공간이 영벡터를 포함하지 않는다면 벡터 공간에 포함되어야 할 벡터들은 반드시 그 벡터 공간을 벗어날 것이다. 따라서 영벡터를 포함하지 않는 벡터 공간은 정의되는 것이 불가능하다. 모든 벡터 공간은 Z를 포함하고 있어야 한다. 더 구체적인 사실은 아래 예제를 통해서 이해해 보도록 하자.
부분 공간(Subspace); 전체 공간
부분공간은 영벡터를 포함한 벡터들의 집합으로 다음 성질을 만족한다.
1. v+w가 부분공간에 속해야 한다.(Additivity)
2. 임의의 스칼라 c에 대해 cv역시 부분공간에 속해야 한다.(Homogenenity)
따라서 부분공간은 선형조합(Superposition)에 대해 닫혀 있어야 한다. 왜냐하면 부분공간은 부분공간 내 벡터들의 확장(Span)이기 때문이다.
위에 2차원 전체공간의 부분공간인 것은 무엇일까? 답은 1번이다. 그 이유는 원점을 지나는 벡터들 중에서 각 공간을 지나는 벡터를 확장했을 때, 1번 만이 확장된 벡터를 포함하기 때문이다. 이로써, 전체공간이 2차원인 공간의 부분공간은 원점 Z, 원점을 지나는 직선들, 원점을 지나는 평면이 될 수 있음을 알 수 있다. 또한 벡터 공간은 좌표계와는 달리 평행이동하지 않음을 알 수 있다.
그렇다면 전체공간이 3차원인 공간의 부분공간은 무엇이 될 수 있을까? 정답은 간단하다. 원점, 원점을 지나는 직선들, 원점을 지나는 평면들, 원점을 지나는 부피가 될 수 있다. 그렇다면, 2차원 공간의 부분공간으로 정의된 직선과 3차원 공간의 부분공간으로 정의된 직선이 같은 부분공간일까? 답은 아니다.
부분공간을 이루는 모든 벡터는 전체 공간을 이루는 차원의 갯수만큼 element를 가지고 있다. 예를 들어 3차원 전체공간에 존재하는 2차원 부분공간의 벡터들은 element가 3개이다.
Rank
행렬의 Rank는 무엇을 의미하며, 왜 정의했을까? Rank와 Dimension의 차이는 무엇일까? 이 질문에 대한 해답은 전체 공간과 부분 공간의 개념을 통해 얻을 수 있다. 전체 공간이 n차원인 공간에 n x m 행렬 A가 존재한다고 가정해보자. A는 n x n 공간의 부분공간이기 때문에, n차원에 대해서 정의되어야 한다. 그러나, A가 높은 차원에서 정의되었다 해도, A는 평면의 공간을 가질 수도 있다. 즉, 2차원의 모양으로 존재할 수 있는 것이다. 그렇다면, A의 실질적인 차원(2차원)을 정의하는 다른 용어가 필요하다. 이것이 Rank다. 따라서 Rank는 행렬의 실질적인 차원을 의미한다. A가 갖고 있는 실질적인 정보의 개수를 의미하는 셈이다. 또는 실제 의미있는 방정식의 개수가 몇 개인지를 알려주는 역할을 한다.
전체 공간의 차원과 A의 Rank가 차이를 보이는 근본적인 이유는 A의 고유한 특성에 있다. 만약 A가 특이행렬이라서, 서로 종속인 열벡터가 존재한다면 이 열벡터들은 서로를 포함하여 실질적으로 하나의 열벡터와 같은 정보의 개수를 의미하게 된다. 이로 인해 퇴축이 발생하며, 실질적인 정보의 개수가 줄어드는 것이다.
rank(A) = of meaningful eqations = of non-zero pivots
실질적인 정보의 개수는 역행렬 변환을 해도 유지되기 때문에, A의 Rank는 inverse A의 Rank와 같다. 또한, A의 전치행렬(Transpose)의 Rank와도 같다. 그러므로, rank가 r이라는 말의 의미는 행렬 A가 독립인 열과 행을 각각 r개 갖고 있음을 의미한다.
Full Rank
어떤 Rank도 Full Rank보다 커질 수 없다. Full Rank는 그 용어 자체에서 알 수 있듯이 꽉 찬 공간이기 때문이다. A가 가질 수 있는 Rank의 상한선을 알려주는 기능이다. 정의 자체는 다음과 같다.
full rank = rank(A) = min(m, n)
예를 들어, A의 full rank가 n이고, A의 rank가 r이라고 할 때 다음과 같은 식을 만족한다.
dim(C(A)) = dim(R(A)) = r, dim(N(A)) = n - r
마치며...
긴 글 읽느라 수고했다.